数学归纳法证明不等式证明这个不等式 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/(n^2)>1 (n属于N+,且n>1)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 09:43:46
数学归纳法证明不等式证明这个不等式 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/(n^2)>1 (n属于N+,且n>1)
数学归纳法证明不等式
证明这个不等式 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/(n^2)>1 (n属于N+,且n>1)
数学归纳法证明不等式证明这个不等式 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/(n^2)>1 (n属于N+,且n>1)
（1）当n=2时,1/2+1/3+1/4=13/12>1.故不等式成立.
（2）假设n=k时,1/k + 1/(k+1) + 1/(k+2) +...+1/(k^2)>1恒成立.
那么当n=k+1时,
则有 1/（k+1） + 1/(k+1+1) + 1/(k+1+2) +...+1/((k+1)^2)
>1+1/(k^2+1)+1/(k^2+2)+...+1/((k^2+2k)+1/(k^2+2k+1)
-1/k>1+(2k+1)/((k^2+2k+1)-1/k>1+(k(k-1)-1)/(k(k+1)^2)
因为(k属于N+,且k>1),所以 (k(k-1)-1)/(k(k+1)^2)>0
即n=k+1时,不等式成立.
综上所述,由（1）（2）可知当n属于N+,且n>1时,
不等式 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/(n^2)>1 恒成立
首先，n=2时，1/2+1/3+1/4>1。
其次，如果n=k时不等式成立，即1/k + 1/(k+1) + 1/(k+2) +...+1/(k^2)>1，
那么n=k+1时，
1/(k+1) + 1/(k+2) +...+ 1/(k^2) + 1/(k^2+1) +...+ 1/(k+1)^2
=[1/k + 1/(k+1) + 1/(k+2) +...+1/(k...
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首先，n=2时，1/2+1/3+1/4>1。
其次，如果n=k时不等式成立，即1/k + 1/(k+1) + 1/(k+2) +...+1/(k^2)>1，
那么n=k+1时，
1/(k+1) + 1/(k+2) +...+ 1/(k^2) + 1/(k^2+1) +...+ 1/(k+1)^2
=[1/k + 1/(k+1) + 1/(k+2) +...+1/(k^2)]+[1/(k^2+1) +...+ 1/(k+1)^2 - 1/k]
>1+[1/(k^2+1) +...+ 1/(k+1)^2 - 1/k]
>1+(2k+1)/(k^2+2k+1)-1/k
>1
最后一个不等式是因为k>=2时，2k^2+k>k^2+2k+1即k^2>k+1。
因此，该不等式对n=k+1时也成立。
所以对于所有自然数n，该不等式都成立。
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