如何证明椭圆范数是一种向量范数?请给出具体证明,只需验证向量范数定义中三角不等式性即可
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 11:07:58
如何证明椭圆范数是一种向量范数?请给出具体证明,只需验证向量范数定义中三角不等式性即可
如何证明椭圆范数是一种向量范数?
请给出具体证明,只需验证向量范数定义中三角不等式性即可
如何证明椭圆范数是一种向量范数?请给出具体证明,只需验证向量范数定义中三角不等式性即可
1.首先,因为 A是正定的 α^H A α >=0,对于任意的α,“=”当且仅当 α=0.
这样,如果 ║α║=0,即 α^H A α=0,就有 α=0.
所以,║α║>=0,“=”当且仅当 α=0.
2.对于任意的复数 c,║cα║ = [(cα)^H A (cα)]^(1/2) = [ c*α^H A (cα) ]^(1/2)
=[ c*c α^H Aα ]^(1/2) =[ |c|^2 α^H Aα ]^(1/2) = |c| [α^H Aα ]^(1/2) = |c| ║α║.
（* 为复共轭.）
3.对于任意的 α,β 属于 C^n,考虑
║α+β║^2 = (α+β)^H A (α+β) = α^H Aα + β^H Aβ + β^H Aα + α^H Aβ
= ║α║^2 + ║β║^2 + β^H Aα + α^H Aβ
A是正定Hermite矩阵,所以,A的所有特征值都是正实数,设 λ1>=λ2>=...>=λn>0 为A的特征值,
e1,e2,.,en,为对应的一组正交化的特征向量基,则可以把α,β 分解为
α = α1 e1+ α2 e2 + .+ αn en,即 ( α1,α2,.,αn) 为 α在这组基下的坐标,同样
β = β1 e1+ β2 e2 + .+ βn en,即 ( β1,β2,.,βn) 为 β在这组基下的坐标.
其中 α1,α2,.,αn,β1,β2,.,βn 都为复数.* 为复共轭.
这样 β^H Aα + α^H Aβ
= (β1)* λ1α1 + (β2)* λ2α2 + ...+ (βn)* λn αn + (α1)* λ1 β1 + (α2)* λ2 β2 + ...+ (αn)* λn βn
= λ1 [(β1)* α1 + (α1)* β1] + λ2 [(β2)* α2 + (α2)* β2] + .+ λn [(βn)* αn + (αn)* βn]
而 (α^H Aα) (β^H Aβ)
= (λ1 |α1|^2 + λ2 |α2|^2 + .+ λn |αn|^2) (λ1 |β1|^2 + λ2 |β2|^2 + .+ λn |βn|^2)
由柯西不等式,
|β^H Aα + α^H Aβ|^2
= { λ1 [(β1)* α1 + (α1)* β1] + λ2 [(β2)* α2 + (α2)* β2] + .+ λn [(βn)* αn + (αn)* βn] }^2
= [ (√λ1)α1(√λ1)(β1)* + (√λ1)(α1)*(√λ1)β1 + (√λ2)α2(√λ2)(β2)* + (√λ2)(α2)*(√λ2)β2 + .
+ (√λn)αn(√λn)(βn)* + (√λn)(αn)*(√λn)βn ]^2