已知函数f(x)=mx/2+(m-2)/2x(m>0) (1)若f(x)≥lnx+m-1在一道正无穷上恒成立,求m的取值范围(2)2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n^3+3n^2-5n)/12 (n∈N+)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 22:13:31
已知函数f(x)=mx/2+(m-2)/2x(m>0) (1)若f(x)≥lnx+m-1在一道正无穷上恒成立,求m的取值范围(2)2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n^3+3n^2-5n)/12 (n∈N+)
已知函数f(x)=mx/2+(m-2)/2x(m>0) (1)若f(x)≥lnx+m-1在一道正无穷上恒成立,求m的取值范围
(2)2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n^3+3n^2-5n)/12 (n∈N+)
已知函数f(x)=mx/2+(m-2)/2x(m>0) (1)若f(x)≥lnx+m-1在一道正无穷上恒成立,求m的取值范围(2)2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n^3+3n^2-5n)/12 (n∈N+)
(1)答案:m≥1,
设F(x)=mx/2+(m-2)/(2x)-lnx-m+1,则F(1)=0,
因为F'(x)=m/2-[(m-2)/2](1/x²)-1/x =(mx²-m+2-2x)/(2x²)
=(mx²-2x-m+2)/(2x²)=(mx+m-2)(x-1)/(2x²)=m[x+(m-2)/m](x-1)/(2x²),
令F'(x)=0,则x=1或x=-(m-2)/m=-1+2/m,
其中x=1不在开区间(1,+∞)上,
假设x=-(m-2)/m 在开区间(1,+∞)上时,
若10,F(x)递增,
故F(x)在x=-(m-2)/m 处有最小值,此时F(x)
(1)答案:m≥2
设F(x)=mx/2+(m-2)/2x-lnx-m+1,则F(1)=0
若能证F'(x)≥0,则F(x)在定义域x>o内是单调增加函数,
当x≥1时,F(x))≥F(1)=0恒成立,即f(x)≥lnx+m-1在一到正无穷上恒成立。
因为F'(x)=m/2-[(m-2)/2](1/x^2)-1/x ,由x≥...
全部展开
(1)答案:m≥2
设F(x)=mx/2+(m-2)/2x-lnx-m+1,则F(1)=0
若能证F'(x)≥0,则F(x)在定义域x>o内是单调增加函数,
当x≥1时,F(x))≥F(1)=0恒成立,即f(x)≥lnx+m-1在一到正无穷上恒成立。
因为F'(x)=m/2-[(m-2)/2](1/x^2)-1/x ,由x≥1,有:(1/x^2)≤1,(1/x)≤1,
所以,当m≥2时,m/2≥[(m-2)/2](1/x^2)+1/x ,即F'(x)≥0成立,(1)的结论也成立。
收起
(2)证明2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n³+3n²-5n)/12 (n∈N+)
用数学归纳法。
当n=1时,左边=1 ln1=0,右边=(2+3-5)/12=0,原不等式成立。
假设当n=k (k∈N+)时,原不等式成立,
即2ln2+3ln3+……+k lnk≤(2k³+3k²-5k)/12=k(k-1)(2k...
全部展开
(2)证明2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n³+3n²-5n)/12 (n∈N+)
用数学归纳法。
当n=1时,左边=1 ln1=0,右边=(2+3-5)/12=0,原不等式成立。
假设当n=k (k∈N+)时,原不等式成立,
即2ln2+3ln3+……+k lnk≤(2k³+3k²-5k)/12=k(k-1)(2k+5)/12 (k∈N+),
那么当n=k+1 (k∈N+)时,
即要证明2ln2+3ln3+……+klnk+(k+1)lnk ≤k(k+1)(2k+7)/12
=(2k³+9k²+7k)/12=(2k³+3k²-5k)/12+(6k²+12k)/12
=(2k³+3k²-5k)/12+(k²+2k)/2,
由2ln2+3ln3+……+k lnk≤(2k³+3k²-5k)/12(k∈N+),
故只要证明(k+1) lnk≤(k²+2k)/2,
移项,得(k²+2k)/2-(k+1) ln(k+1)≥0
令Y=(k²+2k)/2-(k+1) ln(k+1)
Y′=(2k+2)/2-[ln(k+1)+(k+1)/(k+1)=k+1-ln(k+1)-1=k-lnk
=ln(e^K)- lnk =ln[(e^k)/(k+1)]
在k≥2时,令g(k)= e^k-(k+1),
故g′(k)= e^k-1= e^k- e^0>0,故g(k)递增,
故g(k)= e^k-(k+1)≥g(2)= e^2-3>0,
故e^k>k+1>0 ,故Y′=In[(e^k)/(k+1)]>0,
也就是Y=(k²+2k)/2-(k+1) ln(k+1)在k≥2时递增
Y最小=Y(k=2)=4-(k+1) ln(k+1)=ln[(e^4)/27],
由e^4>2.7^4>27,故Y最小=ln[(e^4)/27]>0,
故Y=(k²+2k)/2-(k+1) ln(k+1)在k≥2时,Y>0恒成立
即(k+1) ln(k+1)≤(k²+2k)/2,
由(k+1) ln(k+1)≤(k²+2k)/2得证,
故2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n³+3n²-5n)/12 (n∈N+)成立。
收起