巳知a,b,c是不全相等的正数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>16abc
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 09:03:30
巳知a,b,c是不全相等的正数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>16abc
巳知a,b,c是不全相等的正数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>16abc
巳知a,b,c是不全相等的正数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>16abc
ab+a+b+1>=4*(a*b*a*b*1)^1/4
等号当且仅当a=b=1时成立
ab+ac+bc+c*c>=4*(ab*ac*bc*c*c)^1/4
等号当且仅当a=b=c时成立
(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c*c)>=16abc
等号当且仅当a=b=c=1时成立
由于a b c是不全相等的正数,
所以(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c*c)大于16abc
或者：
原式=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)
a+1>=2根号a 当且仅当a=1时取等号
b+1>=2根号b 当且仅当b=1时取等号
a+c>=2根号ac 当且仅当a=c时取等号
b+c>=2根号bc 当且仅当b=c时取等号
又因为a和b不同时等于1
abc都不相等
所以上面4项至多有一项取等号 且取等号的项>1
所以原式>2根号a*2根号b2根号ac*2根号bc=16abc
我的做法比楼上麻烦得多。
这里面c出现得比较“稀疏”，于是考虑证明（a、b、c均是正数，就不再提及了）：
(ab+a+b+1)(ab/c + a+b+c)>16ab，
因为这样可以很容易地得到估计：ab/c+c>=2sqrt(ab)，其中sqrt(x)表示x的非负平方根。这个等号可以取到。
这样(ab+a+b+1)(ab/c +a+b+c)>=(ab+a+b+1)(...
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我的做法比楼上麻烦得多。
这里面c出现得比较“稀疏”，于是考虑证明（a、b、c均是正数，就不再提及了）：
(ab+a+b+1)(ab/c + a+b+c)>16ab，
因为这样可以很容易地得到估计：ab/c+c>=2sqrt(ab)，其中sqrt(x)表示x的非负平方根。这个等号可以取到。
这样(ab+a+b+1)(ab/c +a+b+c)>=(ab+a+b+1)(a+b+2sqrt(ab))。
这里稍微看一下次数的问题。16ab是个二次的式子，a+b+2sqrt(ab)是一次的式子，一般两个一次的式子乘起来大于一个二次的式子会稍微现实一些。而ab+a+b+1是个非齐次的式子，很容易通过ab+1>=2sqrt(ab)来把它放缩成一个一次的式子，于是
(ab+a+b+1)(ab/c +a+b+c)
>=(sqrt(a)+sqrt(b))^4
>=(2(a^(1/4) b^(1/4))^4
=16ab。
下面来看等号成立的条件。
ab/c+c>=2sqrt(ab)，等号成立必须c=sqrt(ab)；
ab+1>=2sqrt(ab)，等号成立必须ab=1；
sqrt(a)+sqrt(b)>=2(ab)^(1/4)，等号成立必须a=b。
也就是说，要想让(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)=16abc，必须a=b=c=1，否则就是严格大于号成立。
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