实数x,y适合条件1≤x^2+y^2≤2,则函数2x^2+3xy+2y^2的值域是?答案是[1/2,7]但是我做出来事[7/2,7].求详
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 09:17:58
实数x,y适合条件1≤x^2+y^2≤2,则函数2x^2+3xy+2y^2的值域是?答案是[1/2,7]但是我做出来事[7/2,7].求详
实数x,y适合条件1≤x^2+y^2≤2,则函数2x^2+3xy+2y^2的值域是?答案是[1/2,7]但是我做出来事[7/2,7].求详
实数x,y适合条件1≤x^2+y^2≤2,则函数2x^2+3xy+2y^2的值域是?答案是[1/2,7]但是我做出来事[7/2,7].求详
令x=rcosθ,y=rsinθ,1≤r≤√2
f(x)=r²(2cos²θ+3sinθcosθ+2sin²θ)=r²(2+3/2sin2θ)
-1≤sin2θ≤1,1≤r≤2
f(x)为[1/2,7]
注意对称轴
设x=a sin t, y=a cos t
另1≤a≤√2的条件,这样可以满足1≤x^2+y^2≤2,
2x^2+3xy+2y^2
=2a^2 (sint)^2 + 3a^2 sint cost + 2a^2 (cos t)^2
=a^2 (2+ 3/2 sin2t ),
当t取遍一切实数时,-1≤sin2t≤1,
因此 2-3/2=1/2...
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设x=a sin t, y=a cos t
另1≤a≤√2的条件,这样可以满足1≤x^2+y^2≤2,
2x^2+3xy+2y^2
=2a^2 (sint)^2 + 3a^2 sint cost + 2a^2 (cos t)^2
=a^2 (2+ 3/2 sin2t ),
当t取遍一切实数时,-1≤sin2t≤1,
因此 2-3/2=1/2 是上式的最小值,
2*(2+3/2)=7是上式的最大值。
错误得出[7/2,7],可能是由于只运用了一个单方向的均值不等式,这能得出最大值,不能得出最小值。
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