设a>0,试讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x^2-2(1-a)x的单调性
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 02:04:46
设a>0,试讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x^2-2(1-a)x的单调性
设a>0,试讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x^2-2(1-a)x的单调性
设a>0,试讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x^2-2(1-a)x的单调性
首先,函数的定义域是（0,+∞）
f ‘(x)=1/x+2a(1-a)x-2(1-a)=[1+2a(1-a)x^2-2(1-a)x]/x
令g(x)=1+2a(1-a)x^2-2(1-a)x=2a(1-a)x^2--2(1-a)x+1
①当2a(1-a)=0,即a=1时,g(x)=1,f‘(x),≥0
②当2a(1-a)＞0,即0＜a＜1时,函数g(x)开口向上
△=4(1-a)^2-8a(1-a)=4(1-a)(1-a-2a)=4(1-a)(1-3a)
Ⅰ当1/3≤a＜1时,△≤0,g(x)≥0,f ‘(x)≥0
∴f(x)在（0,+∞）单调递增
Ⅱ当a＜1/3或a＞1（舍去）时,△＞0,
令g(x)=0,得到两根x1,x2
∴f(x)在(0,x1) 和(x2,+∞) 单调递增
f(x)在(x1,x2)单调递减
③2a(1-a)＜0,即a＞1时,函数g(x)开口向下
△=4(1-a)^2-8a(1-a)=4(1-a)(1-a-2a)=4(1-a)(1-3a)＞0,
令g(x)=0,得到两根x1,x2
∴f(x)在(0,x1) 和(x2,+∞) 单调递减
f(x)在(x1,x2)单调递增
晕,打死我咯,
学过导数吗 用导数解不会很麻烦的 没学过的话查查书看一下就会了 很简单的
a=1时，f(x)=lnx ,单调递增（x>0）
a不等于1时
f(x)=lnx+(ax^2-2x)(1-a)=lnx+(x^2-2x/a)(1-a)a=lnx+(x^2-2x/a+1/a^2-1/a^2)(1-a)a
=lnx+[(x-1/a)^2-1/a^2](1-a)a 对称轴 x=1/a
当a>1时 （1-a）a<0 所以 [(x-1/a)^2-...
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a=1时，f(x)=lnx ,单调递增（x>0）
a不等于1时
f(x)=lnx+(ax^2-2x)(1-a)=lnx+(x^2-2x/a)(1-a)a=lnx+(x^2-2x/a+1/a^2-1/a^2)(1-a)a
=lnx+[(x-1/a)^2-1/a^2](1-a)a 对称轴 x=1/a
当a>1时 （1-a）a<0 所以 [(x-1/a)^2-1/a^2](1-a)a 在0
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