求lim(x-∞)((a^(1/x)/+b^(1/x)+c^(1/x))/3)^x=0,(a,b,c>0)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 17:26:57
求lim(x-∞)((a^(1/x)/+b^(1/x)+c^(1/x))/3)^x=0,(a,b,c>0)
求lim(x-∞)((a^(1/x)/+b^(1/x)+c^(1/x))/3)^x=0,(a,b,c>0)
求lim(x-∞)((a^(1/x)/+b^(1/x)+c^(1/x))/3)^x=0,(a,b,c>0)
可以用基本极限证明:
由x → 0时(a^x+b^x+c^x)/3-1 → 0, 代入基本极限lim{y → 0} ln(1+y)/y = 1得:
lim{x → 0} ln((a^x+b^x+c^x)/3)/((a^x+b^x+c^x)/3-1) = 1.
由另一个基本极限lim{x → 0} (a^x-1)/x = ln(a).
同理lim{x → 0} (b^x-1)/x = ln(b), lim{x → 0} (c^x-1)/x = ln(c).
相加再除以3得lim{x → 0} ((a^x+b^x+c^x)/3-1)/x = ln(abc)/3.
于是lim{x → 0} ln((a^x+b^x+c^x)/3)/x
= lim{x → 0} ln((a^x+b^x+c^x)/3)/((a^x+b^x+c^x)/3-1) · lim{x → 0} ((a^x+b^x+c^x)/3-1)/x
= ln(abc)/3.
由函数e^x连续, 有lim{x → 0} ((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)
= lim{x → 0} e^(ln((a^x+b^x+c^x)/3)/x)
= e^(lim{x → 0} ln((a^x+b^x+c^x)/3)/x)
= e^(ln(abc)/3)
= (abc)^(1/3).
也即lim{x → ∞} ((a^(1/x)+b^(1/x)+c^(1/x))/3)^x = (abc)^(1/3).
上述过程用高阶无穷小记号可以写得简单些:
x → 0时, a^x = 1+ln(a)x+o(x), b^x = 1+ln(b)x+o(x), c^x = 1+ln(c)x+o(x).
因此(a^x+b^x+c^x)/3 = 1+ln(abc)x/3+o(x).
而ln(1+y) = y+o(y), 代入得ln((a^x+b^x+c^x)/3) = ln(abc)x/3+o(x).
故ln(((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)) = ln((a^x+b^x+c^x)/3)/x = ln(abc)/3+o(1) → ln(abc)/3.
于是((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x) → (abc)^(1/3).
也即x → ∞时, ((a^(1/x)+b^(1/x)+c^(1/x))/3)^x → (abc)^(1/3).
当然, 也可以用L'Hospital法则证明.
建议仍然使用lim{x → 0} ln((a^x+b^x+c^x)/3)/x形式, 这样计算简单一点.