二元二次方程3x^2-xy+3y^2=7x+7y的整数解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 08:16:33
二元二次方程3x^2-xy+3y^2=7x+7y的整数解
二元二次方程3x^2-xy+3y^2=7x+7y的整数解
二元二次方程3x^2-xy+3y^2=7x+7y的整数解
∵3x^2－xy＋3y^2＝7x＋7y,∴3x^2＋3y^2－6x－6y＝xy＋x＋y,
∴xy＋x＋y＝3（x^2＋y^2－2x－2y）.
∵x、y是整数,∴3（x^2＋y^2－2x－2y）是3的倍数,∴可令xy＋x＋y＝3t,其中t是整数.
显然有：x＋y＝3t－xy.······①
将①代入到原式中,得：3x^2－xy＋3y^2＝21t－7xy,∴3x^2＋6xy＋3y^2＝21t,
∴x^2＋2xy＋y^2＝7t,∴（x＋y）^2＝7t.
∵7是素数、t是整数,∴（x＋y）是7的倍数.
令x＋y＝7k,其中k是整数,得：（7k）^2＝7t,∴t＝7k^2.
将x＋y＝7k、t＝7k^2代入到①中,得：7k＝21k^2－xy,∴xy＝21k^2－7k.
∵x＋y＝7k、xy＝21k^2－7k,
∴由韦达定理可知：x、y是下列关于z的方程z^2－7kz＋21k^2－7k＝0的根.
自然,z是整数,∴z^2－7kz＋21k^2－7k＝0的判别式不小于0,
∴（－7k）^2－4（21k^2－7k）≧0,∴7k^2－12k^2＋4k≧0,∴5k^2－4k≦0,
∴k（k－4/5）≦0,∴0≦k≦4/5＜1,∴k＝0.
于是：x＋y＝0、xy＝0,∴x＝y＝0.
∴原方程的整数解是：x＝y＝0.
3x^2-(y+7)x+3y^2-7y=0 so Δ=(y+7)^2-4*3*(3y^2-7y)>=0 由于x,y的整数解，所以 0<=y<=3 ,即y=0,1,2,3
x有整数解，所以设Δ=t^2 ,即 -35y^2+84y+49=t^2 ,把 y=0,1,2,3 带入可知，只有y=0时 Δ=t^2 才有整数解，所以y=0,
把y=0 带入原始方程得：3x^2=7x ，所以...
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3x^2-(y+7)x+3y^2-7y=0 so Δ=(y+7)^2-4*3*(3y^2-7y)>=0 由于x,y的整数解，所以 0<=y<=3 ,即y=0,1,2,3
x有整数解，所以设Δ=t^2 ,即 -35y^2+84y+49=t^2 ,把 y=0,1,2,3 带入可知，只有y=0时 Δ=t^2 才有整数解，所以y=0,
把y=0 带入原始方程得：3x^2=7x ，所以x=0或x=7/3,整数解为x=0
所以 x=0,y=0
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