m,a,n成等差数列,m,b,c,n成等比数列,其中m,n属于R,且m,n大于0.证明:2a≥b+c
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 23:03:29
m,a,n成等差数列,m,b,c,n成等比数列,其中m,n属于R,且m,n大于0.证明:2a≥b+c
m,a,n成等差数列,m,b,c,n成等比数列,其中m,n属于R,且m,n大于0.证明:2a≥b+c
m,a,n成等差数列,m,b,c,n成等比数列,其中m,n属于R,且m,n大于0.证明:2a≥b+c
看看吧.
2a=m+n>=2根(mn)
bc=mn 即证(m+n)min=2根(mn)>=mn 作商2根(mn)/mn=2/根(mn)，所以当根(mn)<=2时等式不等式成立即mn<=4
设公差为d，m=a-d，n=a+d，
b^2=cm=c(a-d) c^2=bn=b(a+d)
因为m、n均大于零，m,b,c,n成等比数列，所以b和c均大于零，因此
-（b^2-ca）/c=d ( c^2-ab)/b=d
-（b^2-ca）/c= ( c^2-ab)/b
b^3+c...
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设公差为d，m=a-d，n=a+d，
b^2=cm=c(a-d) c^2=bn=b(a+d)
因为m、n均大于零，m,b,c,n成等比数列，所以b和c均大于零，因此
-（b^2-ca）/c=d ( c^2-ab)/b=d
-（b^2-ca）/c= ( c^2-ab)/b
b^3+c^3-2abc=0
2a=(b+c)(b^2-bc+c^2)/bc=（b+c)(b/c-1+c/b)≥b+c
当且仅当两个数列都是常数列时，2a=b+c
因此2a≥b+c
收起
m,a,n成等差数列，那么2a=m+n
m,b,c,n成等比数列,那么mn=bc，b²=mc c²=bn
因为m，n都大于0，所以a>0 bc>0
也就是说m，n是方程
x²-2ax+bc=0的两个根
△=4a²-4bc>0
a²>bc
要证明 2a>=b+c
就是证明m+n>=b+...
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m,a,n成等差数列，那么2a=m+n
m,b,c,n成等比数列,那么mn=bc，b²=mc c²=bn
因为m，n都大于0，所以a>0 bc>0
也就是说m，n是方程
x²-2ax+bc=0的两个根
△=4a²-4bc>0
a²>bc
要证明 2a>=b+c
就是证明m+n>=b+c
若设等比数列公比是q，那么
b=mq c=n/q，再根据m，n都是正数，知道q>0
那么就是证明m+n>=mq+n/q
也就是证明mq+n/q在q=1时取的最大值m+n
可以设函数f(q)=mq +n/q
公比q满足q³=n/m
m+n-（mq+n/q)
=m(1-q)+n/q(q-1)
=(m-n/q)(1-q)
=(m-c)(1-q)
当q>1时 m
同理当q<1时 原式=(m-c)(1-q)>0
当q=1时，原式=(m-c)(1-q)=0
综上m+n-（mq+n/q)>0
且在q=1处“=”成立
即在m=n时
有
2a=b+c
所以:2a≥b 得正
收起
设m、b、c、n的公比为q，则b=mq，c=mq²，n=mq³。则：
2a－(b＋c)=(m＋mq³)－(mq＋mq²)=m[(1＋q³)－(q＋q²)]=m[(q³－q²)－(q－1)]=m[q²(q－1)－(q＋1)(q－1)]=m(q－1)(q²－1)=m(q－1)²(q＋1)≥0，所以2a≥b＋c。