已知数列an的前n项和Sn=(n+1)bn,b1=1公差为2的等差数列 求若cn=1/an(2bn+5) 求cn的前N.项和Tn
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 21:56:20
已知数列an的前n项和Sn=(n+1)bn,b1=1公差为2的等差数列 求若cn=1/an(2bn+5) 求cn的前N.项和Tn
已知数列an的前n项和Sn=(n+1)bn,b1=1公差为2的等差数列 求若cn=1/an(2bn+5) 求cn的前N.项和Tn
已知数列an的前n项和Sn=(n+1)bn,b1=1公差为2的等差数列 求若cn=1/an(2bn+5) 求cn的前N.项和Tn
Sn=(n+1)bn
sn+1=（n+2）bn+1
sn+1-sn=（n+1）bn+1+bn+1-(n+1)bn==（n+1）（bn+1-bn）+bn+1
=2n+2+bn+1=2n+2+1+4n=6n+3
因为｛bn｝是首项为1，公差为2的等差数列，所以 bn=2n-1，
因此，Sn=(n+1)(2n-1)=2n^2+n-1，
所以 a1=S1=2，
当n>=2时，an=Sn-S(n-1)=(2n^2+n-1)-[2(n-1)^2+(n-1)-1]=4n-1，
因此，当n=1时，c1=1/[a1*(2b1+5)]=1/14，
当 n>=2 时，cn=1/[an...
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因为｛bn｝是首项为1，公差为2的等差数列，所以 bn=2n-1，
因此，Sn=(n+1)(2n-1)=2n^2+n-1，
所以 a1=S1=2，
当n>=2时，an=Sn-S(n-1)=(2n^2+n-1)-[2(n-1)^2+(n-1)-1]=4n-1，
因此，当n=1时，c1=1/[a1*(2b1+5)]=1/14，
当 n>=2 时，cn=1/[an*(2bn+5)]=1/[(4n-1)(4n+3)]，
由于 1/[(4n-1)(4n+3)]=1/4*[1/(4n-1)-1/(4n+3)]，
所以，由裂项相消法可得
n=1时，Tn=1/14，
n>=2时，Tn=c1+(c2+c3+...+cn)
=1/14+1/4*[(1/7-1/11)+(1/11-1/15)+....+1/(4n-1)-1/(4n+3)]
=1/14+1/4*[1/7-1/(4n+3)]
=(6n+1)/[14(4n+3)]
由于n=1时，Tn=1/14=(6n+1)/[14(4n+3)]，
所以，所求Tn=(6n+1)/[14(4n+3)]（n>=1，n∈N*）。
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