求证锐角三角形三条高交与1点?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 04:02:32
求证锐角三角形三条高交与1点?
求证锐角三角形三条高交与1点?
求证锐角三角形三条高交与1点?
证明：设三角形ABC,CF垂直于AB,BE垂直于AC,BE交AC
H,延长AH交BC于D,现证明AD垂直于BC
因为CF垂直于AB,
BC^2=CF^2+BF^2,AC^2=FC^2+AF^2
两者相减,
得BC^2-AC^2=BF^2-AF^2
同理,BH^2-HA^2=BF^2-AF^2
所以BC^2-AC^2= BH^2-HA^2（1）
与上述推理一样,BC^2-AB^2= CH^2-HA^2（2）
（1）-（2）,得AB^2-AC^2=BH^2-CH^2
此时,过A点作BC边的高AI,过H点作BC的垂线交其
于J.
同开始的推理一样,AB^2-AC^2=BI^2-CI^2
BH^2-CH^2=BJ^2-CJ^2
所以BI^2-CI^2=BJ^2-CJ^2
即I、J点重合
所以AI,HJ是同一条直线
所以AH在BC边的高AI上,AD垂直于BC
所以三角形三边的高交于一点H
垂心
垂心
垂 心
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
锐角三角形垂心在三角形内部。
直角三角形垂心在三角形直角顶点。
钝角三角形垂心在三角形外部。
垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。
三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
三角形上作三高，三高必于垂心交。
高线分割三角形，出现直...
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垂心
垂 心
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
锐角三角形垂心在三角形内部。
直角三角形垂心在三角形直角顶点。
钝角三角形垂心在三角形外部。
垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。
三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
三角形上作三高，三高必于垂心交。
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清，
证明如第二张图，虽然“角”的符号成了乱码，但大家应该能看懂。CF为要证的高；两个角（DOC与BAD）相等后利用相似证，此部分从略。直角三角形的情况，直角顶点显然是垂心；钝角——大家没发现三角形OBC垂心就是A吗？
垂心的重心坐标反而比外心简单一点。先计算下列临时变量（与外心一样）：
d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘（句子很长^_^）。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( c1/c，c2/c，c3/c )。
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