下列矩阵中哪些矩阵可对角化?并对可对角化得矩阵A,求一个可逆矩阵P,使P^-1AP成对角矩阵2 1 -11 2 10 0 1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 22:09:29
下列矩阵中哪些矩阵可对角化?并对可对角化得矩阵A,求一个可逆矩阵P,使P^-1AP成对角矩阵2 1 -11 2 10 0 1
下列矩阵中哪些矩阵可对角化?并对可对角化得矩阵A,求一个可逆矩阵P,使P^-1AP成对角矩阵
2 1 -1
1 2 1
0 0 1
下列矩阵中哪些矩阵可对角化?并对可对角化得矩阵A,求一个可逆矩阵P,使P^-1AP成对角矩阵2 1 -11 2 10 0 1
|A-λE|=
2-λ 1 -1
1 2-λ 1
0 0 1-λ
=(1-λ)[(2-λ)^2-1]
=(1-λ)^2 (3-λ).
所以A的特征值为1,1,3
(A-E)X=0 的基础解系为:(1,-1,0)'.
2重特征值只有一个线性无关的特征向量
故A不能相似对角化.
1、求矩阵A的特征值，解特征多项式得出A的特征值
│λ-2 -1 1│
│λI-A│= │-1 λ-2 -1│=(λ-1)(λ-1)(λ-3)=0
│0 0 λ-1│
解出A的特征值为1,3
2、λ=1时，
│-1 -1 1│ │-1 -1 1│
│-1 -1 -1│~ ...
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1、求矩阵A的特征值，解特征多项式得出A的特征值
│λ-2 -1 1│
│λI-A│= │-1 λ-2 -1│=(λ-1)(λ-1)(λ-3)=0
│0 0 λ-1│
解出A的特征值为1,3
2、λ=1时，
│-1 -1 1│ │-1 -1 1│
│-1 -1 -1│~ │0 0 -2│
│0 0 0│ │0 0 0│
-x1-x2+x3=0,则x1=-x2+x3,
解出特征向量为p1=(-1,1,0)',p2=(1,0,1)'
同理λ=3时，解出特征向量为p3=(1,1,0)'
所以求出可逆矩阵,使得P^-1AP成对角阵
P=(p1,p2,p3)=│-1 1 0│
│1 0 1│
│1 1 0│
P^-1AP=│1 0 0│
│0 1 0│
│0 0 3│
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