A是以BC为直径的圆上的一点,BE是⊙O的切线,CA的延长线与BE交于E点,F是BE的重点.求：（1）PA是⊙O的切线.（2）若AF=3,BC=8,求AE的长.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 19:20:09
A是以BC为直径的圆上的一点,BE是⊙O的切线,CA的延长线与BE交于E点,F是BE的重点.求：（1）PA是⊙O的切线.（2）若AF=3,BC=8,求AE的长.
A是以BC为直径的圆上的一点,BE是⊙O的切线,CA的延长线与BE交于E点,F是BE的重点.
求：
（1）PA是⊙O的切线.
（2）若AF=3,BC=8,求AE的长.
A是以BC为直径的圆上的一点,BE是⊙O的切线,CA的延长线与BE交于E点,F是BE的重点.求：（1）PA是⊙O的切线.（2）若AF=3,BC=8,求AE的长.
1.
证明：
连接AB,OA,
因为BC是直径,所以角BAC是90度,也即角EAB = 90度
在直角三角形EAB中,AF 是斜边中线,所以有AF = EF = BF
因此角FAB = 角FBA
因为角FAB = FBA = 角EBC - 角ABC = 90 - 角ABC = 角ACB
角OAB = 角OBA,所以角OAF = 角OAB + 角BAF = 角OBA + 角ACB = 90度
也就是说,OA垂直AF,所以AF是圆的切线.也即PA是圆的切线.
2.
因为在1中已经证明AF = EF = FB,所以EB = 2AF = 6
又BC = 8,所以EC = 10
所以cos角ACB = BC / EC = 8/10 = 4/5
在直角三角形ABC中,AC = BC * cos角ACB = 8 * 4/5 = 32/5
所以AE = EC - AC = 10 - 32/5 = 18/5
如果楼主没有学过正弦值,这也可以根据相似形和相似比做.
连接AB、OA，则有∠BAC=∠EBC=90°，则∠EBA=∠ACB，又因为OA=OC，所以∠OAC=∠ACB=90°。又因为F是EB中点，所以AF=FB，所以∠FAB=∠EBA=∠ACB=∠OAC，所以∠EAC=∠BAC=90°，所以PA⊥AO，所以PA是圆O切线。
EF=FB=AF=3，所以EB=6，又BE=8，所以由勾股定理得EC=10。又由相似三角形得出AC=4/5BC=6.4，所...
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连接AB、OA，则有∠BAC=∠EBC=90°，则∠EBA=∠ACB，又因为OA=OC，所以∠OAC=∠ACB=90°。又因为F是EB中点，所以AF=FB，所以∠FAB=∠EBA=∠ACB=∠OAC，所以∠EAC=∠BAC=90°，所以PA⊥AO，所以PA是圆O切线。
EF=FB=AF=3，所以EB=6，又BE=8，所以由勾股定理得EC=10。又由相似三角形得出AC=4/5BC=6.4，所以AE=EC-AC=3.6
收起
(1）连接AB
那么∠EAB=90°
所以AF=1/2BE=BF
然后是切线长定理，就是切线了。。
如果这样不行的话，你可以设一个切点，然后用同一法证明也可以
（2）AF=3那么BE=6
BC=8
所以CE=10
所以AB=6*8/10=24/5
所以AE=18/5