已知：如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,点E是边BC上一点,过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F,且EF=AF,以点E为圆心,EC长为半径作⊙E交BC于点D．（1）求证：斜边AB是⊙E的切线；（2）设若AB与⊙E相切的切点为
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 14:16:09
已知：如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,点E是边BC上一点,过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F,且EF=AF,以点E为圆心,EC长为半径作⊙E交BC于点D．（1）求证：斜边AB是⊙E的切线；（2）设若AB与⊙E相切的切点为
已知：如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,点E是边BC上一点,过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F,且EF=AF,
以点E为圆心,EC长为半径作⊙E交BC于点D．
（1）求证：斜边AB是⊙E的切线；
（2）设若AB与⊙E相切的切点为G,AC=8,EF=5,连DA、DG,求S△ADG．
已知：如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,点E是边BC上一点,过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F,且EF=AF,以点E为圆心,EC长为半径作⊙E交BC于点D．（1）求证：斜边AB是⊙E的切线；（2）设若AB与⊙E相切的切点为
1、做EM⊥AB于M,做FN⊥AC于N
∵EF⊥BC,即∠BEF=∠CEF=90°
FN⊥AC,即∠FNA=∠FNC=90°
∠ECN=∠ACB=90°即AC⊥BC
∴四边形ECNF是矩形,EF∥AC
∴EC=FN,∠MFE=∠A
∵EM⊥AB即∠EMF=∠FNA=90°
在△EFM和△FAN中
∠EMF=∠FNA,∠MFE=∠A,EF=AF
∴△EFM≌△FAN(AAS)
∴EM=FN=EC
∵EC长为半径
∴斜边AB是⊙E的切线
2、连接AE、CG交于K
∴∠CGD=90°(CD是直径）
由前面Rt△FAN中AF=EF=5
AN=AC-EF=3
∴CE=EG=4,CD=8
∴CE=4,AC=8,得AE=4√5,
∵AG=AC=8
∴AE⊥CG,GK=KC
由射影定理：AB²=AK×AE,AK=8²/4√5=16√5/5
GK²=AK×KE=16√5/5×(4√5-16√5/5)
GK=8√5/5
∴CG=GK+CK=16√5/5,
∴在Rt△CDG中,根据勾股定理：DG²=CD²-CG²=8²-(16√5/5)²
GD=8√5/5,
∴S△CDG=1/2DG×CG=1/2×8√5/5×16√5/5=64/5,
∵E是CD的中点
∴S△GDE=1/2S△CDG=32/5
∵AE⊥CG,∠CGD=90°即DG⊥CG
∴DG∥AE
∴△ADG和△GDE等底、等高
∴S△ADG=S△GDE=32/5.
(1)作FH⊥AC于H,EI⊥AB于I,
∠ACB=90°，FE⊥BC,
∴四边形CEFH是矩形，
∠A=∠EFI,
又EF=AF，
∴△AHF≌△FIE(AAS),
∴EI=FH=EC,
∴斜边AB是⊙E的切线，I与G重合。
(2)BF/BA=EF/AC=5/8，
∴AF=(1-5/8)BA=5，AB=40/3，
∴...
全部展开
(1)作FH⊥AC于H,EI⊥AB于I,
∠ACB=90°，FE⊥BC,
∴四边形CEFH是矩形，
∠A=∠EFI,
又EF=AF，
∴△AHF≌△FIE(AAS),
∴EI=FH=EC,
∴斜边AB是⊙E的切线，I与G重合。
(2)BF/BA=EF/AC=5/8，
∴AF=(1-5/8)BA=5，AB=40/3，
∴BC=√(AB^-AC^)=√[(40/3)^-8^]=32/3,
∴EC=FH=AFsinA=5*4/5=4,
∴BD=BC-2EC=8/3，
作DM⊥AB于M,则DM=BDsinB=8/3*3/5=8/5,
FG=EFcosA=5*3/5=3,
∴S△ADG=（1/2）AD*DM=(1/2)(5+3)*8/5=32/5.
收起