考研数学一三道微分中值定理的证明题目求解 坐等

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先占个位置,晚上上完课回去上图.

21．将f(x)在x=x₀处按拉格朗日余项泰勒公式展开至n=2
f(x)=f(x₀)+f’(x₀)*(x- x₀)+f’’(x₀)/2!*(x- x₀) ²+ f’’’(ξ)/3!*(x- x₀)³

取x₀=0，分别以x= -1与x= 1代入，得
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21．将f(x)在x=x₀处按拉格朗日余项泰勒公式展开至n=2
f(x)=f(x₀)+f’(x₀)*(x- x₀)+f’’(x₀)/2!*(x- x₀) ²+ f’’’(ξ)/3!*(x- x₀)³

取x₀=0，分别以x= -1与x= 1代入，得
0=f(-1)=f(0)+f’(0)*(-1)+f’’(0)/2!*(-1) ²+ f’’’(ξ₁)/3!*(-1)³ (-1<ξ₁<0) ①
1=f(1)=f(0)+f’(0)+f’’(0)/2! + f’’’(ξ₂)/3! (0<ξ₂<1) ②
又f’(0)=0，故②-①得
1/2*[f’’’(ξ₁)+f’’’(ξ₂)]=3

当f’’’(ξ₁)≥f’’’(ξ₂)时，f’’’(ξ₁) ≥1/2*[f’’’(ξ₁)+f’’’(ξ₂)]=3
即存在ξ₁∈(-1,1)，使得f’’’(ξ₁) ≥3
当f’’’(ξ₁)≤f’’’(ξ₂)时，f’’’(ξ₂) ≥1/2*[f’’’(ξ₁)+f’’’(ξ₂)]=3
即存在ξ₂∈(-1,1)，使得f’’’(ξ₂) ≥3
综上，存在ξ∈(-1,1)，使得f’’’(ξ) ≥3

22．∵lim{x→1}[f(x)/(x-1) ²]=1，由连续性
∴f(1)= lim{x→1} f(x)
= lim{x→1}[f(x)/(x-1) ²*(x-1) ²]
= lim{x→1}[f(x)/(x-1) ²]*lim{x→1} (x-1) ²
=1×0
=0
f’(1)= lim{x→1}{[f(x)-f(1)]/(x-1)}
= lim{x→1}[f(x)/(x-1) ²*(x-1)]
= lim{x→1}[f(x)/(x-1) ²]*lim{x→1} (x-1)
=1×0
=0

将f(x)在x=x₀处按拉格朗日余项泰勒公式展开至n=1
f(x)=f(x₀)+f’(x₀)*(x- x₀)+f’’(ξ)/2!*(x- x₀) ²

取x₀=1，分别以x= 0与x= a（a>1）代入，得
f(0)=f(1)+f’(1)*(-1) +f’’(ξ₁)/2!*(- 1) ² (0<ξ₁<1) ①
f(a)=f(1)+f’(1) *(a-1)+f’’(ξ₂)/2!*(a-1) ² (1<ξ₂注意到f(1)=0，f’(1)=0
由①②可得
f(0)= f’’(ξ₁)/2!
f(a)= f’’(ξ₂)/2!*(a-1) ²
∵|f’’(x)| ≤M，∴|f(0)|= |f’’(ξ₁)/2!| ≤M/2
|f(a)|= |f’’(ξ₂)/2!*(a-1) ²|≤M/2*(a-1) ²

再分别取x₀=0与x₀= a（a>1），以x= 1代入，得
0=f(1)=f(0)+ f’(0)+ f’’(ξ₃)/2! (0<ξ₃<1) ③
0=f(1)=f(a)+ f’(a)*(1-a)+ f’’(ξ₄)/2!*(1-a) ² (1<ξ₄由③④可得
f’(0)= -f(0)- f’’(ξ₃)/2
f’(a)=f(a)/(a-1)+ f’’(ξ₄)/2*(a-1)
∴|f’(0)|+| f’(a)| ≤| f(0)|+| f’’(ξ₃)/2|+| f(a)/(a-1)|+| f’’(ξ₄)/2*(a-1)|
≤M/2+ M/2+ M/2*(a-1)+ M/2*(a-1)
=M*a

23．∵max[f(x)]=2≠0，∴f(x)的最大值点不在边界，故一定在(0,1)内
因此，存在x₀∈(0,1)，使得f(x₀)=2，且f’(x₀)=0

将f(x)在x=x₀处按拉格朗日余项泰勒公式展开至n=1
f(x)=f(x₀)+f’(x₀)*(x- x₀)+f’’(ξ)/2!*(x- x₀) ²
分别以x= 0与x= 1代入，得
0=f(0)=f(x₀)+f’(x₀)*(-x₀) +f’’(ξ₁)/2!*(- x₀) ² (0<ξ₁< x₀) ①
0=f(1)=f(x₀)+f’(x₀) *(1-x₀)+f’’(ξ₂)/2!*(1- x₀) ² (x₀<ξ₂<1) ②

下面对x₀进行讨论：
当0f’’(ξ₁)= -4/(x₀) ²≤-16，而min[f’’(x)]≤f’’(ξ₁)≤-16
当1/2f’’(ξ₂)= -4/(1-x₀) ²<-16，而min[f’’(x)]≤f’’(ξ₂)<-16
以上证明了对任意的x₀∈(0,1)，都有min[f’’(x)]≤-16

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