几道微分中值定理的题目
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 00:24:28
几道微分中值定理的题目
几道微分中值定理的题目
几道微分中值定理的题目
1.因为条件只有一点可导,所以不适用中值定理,直接用定义证明.
由f(x)在x = 0处可导,有lim{x → 0} (f(x)-f(0))/x = f'(0).
对任意ε > 0,存在δ > 0,使得|x| < δ时恒有|(f(x)-f(0))/x-f'(0)| < ε.
而由a[n] → 0-,b[n] → 0+,存在N,使得n > N时成立-δ < a[n] < 0 < b[n] < δ.
此时|(f(b[n])-f(a[n]))/(b[n]-a[n])-f'(0)|
= |(f(b[n])-f(a[n]))-f'(0)(b[n]-a[n])|/(b[n]-a[n])
= |(f(b[n])-f(0)-f'(0)·b[n])-(f(a[n])-f(0)-f'(0)·a[n])|/(b[n]-a[n])
≤ |f(b[n])-f(0)-f'(0)·b[n]|/(b[n]-a[n])+|f(a[n])-f(0)-f'(0)·a[n]|/(b[n]-a[n]) (绝对值不等式)
= |(f(b[n])-f(0))/b[n]-f'(0)|·b[n]/(b[n]-a[n])-|(f(a[n])-f(0))/a[n]-f'(0)|·a[n]/(b[n]-a[n]) (a[n] < 0 < b[n])
< ε·b[n]/(b[n]-a[n])-ε·a[n]/(b[n]-a[n]) (由|a[n]|,|b[n]| < δ)
= ε.
即得lim{n → ∞} (f(b[n])-f(a[n]))/(b[n]-a[n]) = f'(0).
9.设g(x) = f(x)².
则g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且g(0) = f(0)² = 0.
又由f(x)在(0,1)不恒为0,存在c ∈ (0,1)使f(c) ≠ 0,于是g(c) = f(c)² > 0.
根据Lagrange中值定理,存在ξ ∈ (0,c)使g'(ξ) = (g(c)-g(0))/(c-0) = g(c)/c > 0.
于是f(ξ)f'(ξ) = g'(ξ)/2 > 0.
13.(1) 不妨设f'(a) > 0,则有f'(b) > 0.
由lim{x → a+} (f(x)-f(a))/(x-a) = f'(a) > 0,在a的右邻域内存在c使f(c) > f(a) = 0.
同理,在b的左邻域内存在d使f(d) < f(b) = 0.
由f(x)连续,根据介值定理,在c,d之间存在ξ使得f(ξ) = 0.
(2) 设g(x) = f(x)·e^(-x),则g(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且g(a) = g(ξ) = g(b) = 0.
由Rolle定理,存在α ∈ (a,ξ),使得g'(α) = 0,即f'(α)·e^(-α)-f(α)·e^(-α) = 0.
而e^(-α) ≠ 0,故f'(α)-f(α) = 0.同理,存在β ∈ (ξ,b)使得f'(β)-f(β) = 0.
再设h(x) = (f'(x)-f(x))·e^x,则h(x)在[α,β]连续,在(α,β)可导,且h(α) = h(β) = 0.
由Rolle定理,存在η ∈ (α,β),使得h'(η) = 0.
而h'(x) = (f"(x)-f'(x))·e^x+(f'(x)-f(x))·e^x = (f"(x)-f(x))·e^x,
即得(f"(η)-f(η))·e^η = 0,又e^η ≠ 0,故f"(η)-f(η) = 0,也即f(η) = f"(η).