三角形ABC中已知AB=3,AC边上的中线BD=根号5,向量AC*向量AB=5,求sin（2A-B）的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 02:16:43
三角形ABC中已知AB=3,AC边上的中线BD=根号5,向量AC*向量AB=5,求sin（2A-B）的值
三角形ABC中已知AB=3,AC边上的中线BD=根号5,向量AC*向量AB=5,求sin（2A-B）的值
三角形ABC中已知AB=3,AC边上的中线BD=根号5,向量AC*向量AB=5,求sin（2A-B）的值
三角形ABC中已知︱AB︱=3,AC边上的中线︱BD︱=√5,向量AC•AB=5,求sin（2A-B）的值
设︱AD︱=x,则︱AC︱=2x.
在△ABD中使用余弦定理：︱BD︱²=︱AB︱²+︱AD︱²-2︱AB︱︱AD︱cosA
将已知数据代入得：5=9+x²-6xcosA,即有x²-6xcosA+4=0.(1)
AC•AB=︱AC︱︱AB︱cosA=6xcosA=5.(2)
将(2)代入(1)式立得x²-5+4=x²-1=0,故x=1,即︱AD︱=1,︱AC︱=2；
将x=1代入(2)式得cosA=5/6.(3) (A≈33.56°)
故sinA=√(1-25/36)=(√11)/6.(4)
再在△ABC中使用余弦定理得︱BC︱²=︱AB︱²+︱AC︱²-2︱AB︱︱AC︱cosA
即有︱BC︱²=9+4-12×(5/6)=3,∴︱BC︱=√3.(5)
由正弦定理得sinB=(2×sinA)/︱BC︱=[2×(√11)/6]/√3=(√33)/9；
cosB=√(1-33/81)=(√48)/9=(4√3)/9
sin2A=2sinAcosA=2×[(√11)/6]×(5/6)=5(√11)/18；cos2A=√(1-sin²2A)=√[1-(275/324)]=7/18
∴sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=[5(√11)/18][4(√3)/9]-(7/18)[(√33)/9]=13(√33)/162
向量BD=(1/2)( 向量BA+向量BC),【为便于打字，以下省去“向量”二字】
BC=AC+BA.
BD=(1/2)(BA+AC+BA).
=BA+AC/2
=(1/2)AC-AB.
|BD|^2=[(1/2)AC-AB]^2.
=(1/4)|AC|^2-AC.AB+|AB|^2.
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向量BD=(1/2)( 向量BA+向量BC),【为便于打字，以下省去“向量”二字】
BC=AC+BA.
BD=(1/2)(BA+AC+BA).
=BA+AC/2
=(1/2)AC-AB.
|BD|^2=[(1/2)AC-AB]^2.
=(1/4)|AC|^2-AC.AB+|AB|^2.
(√5)^2=(1/4)|AC|^2-5+|AB|^2.
(1/4)|AC|^2=10-3^2=1.
∴|AC|^2=4,
|AC|=2.
又，BC=AC-AB.
|BC|^2=|AC|^2-2*AC.AB+|AB|^2.
=2^2-2*5+3^2.
=13-10.
=3.
∴|BC|=√3.
设向量AC余与向量AB的夹角为
cos
即，cosA=5/6.
sinA=√(1-cos^2A)=√11/6,
再应用正弦定理，得：
|BC|/sinA=|AC|/sinB.
sinB=|AC|*sinA/|BC|.
=(2*√11/6)/√3.
=√33/9.
cosB=4√3/9.
sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB.
=2sinAcosAcosB-(2cos^2A-1)sinB, （*）
将上述算出的数值(*)式中，化简后得：
sin(2A-B)=13√33/162 ----即为所求。
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“ 向量AC*向量AB=5“中“*”是乘以的意思吗？