△ABC的三边均为整数,且面积也是整数,BC长为21,周长为48,求它的最短边.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 17:25:32
△ABC的三边均为整数,且面积也是整数,BC长为21,周长为48,求它的最短边.
△ABC的三边均为整数,且面积也是整数,BC长为21,周长为48,求它的最短边.
△ABC的三边均为整数,且面积也是整数,BC长为21,周长为48,求它的最短边.
用枚举法得知：BC最长边为21时,其它两边之和为27,则最短边在7到13之间产生
三角形知道三边求面积的公式为：S＝ √[p(p - a)(p - b)(p - c)] ,其中P=半周长
设BC为a,S＝ √[24*3*(24 - b)*(24 -( 27-b))] = √[72*(24 - b)*(b-3)]
用枚举法同样得知：将b用7到13之间的数代入,因为面积是整数,只有b=10的时候以才能满足以下条件：
ABC的三边均为整数,且面积也是整数,BC长为21,周长为48
设最短边AC=x，AB=48-21-x=27-x，
△ABC面积S=（1/2）×21×（27-x）sinB
当B=30°时，sinB=1/2，
∴S=21（27-x）/4.
x=3时，AB=27-3=24，
由AB=AC+BC（舍去）
取x=7最短。
这是考的一个椭圆的问题，AB+AC=27是一个定值要想面积为整数必须是A点到BC边的距离为偶数。且AB和AC都为整数，然而当AB垂直于AC时最少也是13，令A到BC边的距离为Z,可以列出以下算式，X+Y=26,√X2-Z2+√Y2-Z2=21求Z的最小值就行了
设AC对边为b；AB边为c，BC为21，则根据余弦定理有
BC^2＝b^2+c^2-2bc*cosA
441+2bc＝(b+c)^2-2bc*cosA 代入b+c＝48-21＝27后整理：
144－bc＝bc*cosA (1)
设该三角形面积为S，则有
2S＝bc*sinA (2...
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设AC对边为b；AB边为c，BC为21，则根据余弦定理有
BC^2＝b^2+c^2-2bc*cosA
441+2bc＝(b+c)^2-2bc*cosA 代入b+c＝48-21＝27后整理：
144－bc＝bc*cosA (1)
设该三角形面积为S，则有
2S＝bc*sinA (2)
(1) 、(2)式平方相加：
4S^2+(144－bc)^2＝(bc)^2
4S^2+20736－288bc＝0
整理后得：
bc＝72+(S^2)/72
故b、c为方程
x^2-27x+72+(S^2)/72=0 的两根
该方程解为
x1={27+√{729-4*[72+(S^2)/72]}}/2=27/2+√[441－(S^2)/18]/2
x2={27－√{729-4*[72+(S^2)/72]}}/2=27/2－√[441－4(S^2)/18]/2
因边长为整数，且S也为整数，故必有√[441－(S^2)/18]为整数，
即441－(S^2)/18是个完全平方数
于是，S中必然含有因素2和3，设S＝6t，则(S^2)/18＝2t^2，且由441－2t^2≥0，有t＜15
于是有 x1＝27/2+√[441－2t^2]/2
x2＝27/2－√[441－2t^2]/2
将t从1到14依次代入检验，唯有t＝14时，441－2t^2＝49，为完全平方数，故有
x1＝27/2+7/2＝17
x2＝27/2－7/2＝10
故三角形三边分别为：21；17；10
最短边为：10
收起
a^2+b^2=21*21=441勾股定理
a+b=48-21=27
（a+b）^2=a^2+b^2+2ab=27*27=729
ab=(729-441)/2=144
a(27-a)=144
解出来小的那个就是了