P为正方形ABCD内的一点,并且PA＝a,PB＝2a,PC＝3a,求正方形的边长
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 14:20:03
P为正方形ABCD内的一点,并且PA＝a,PB＝2a,PC＝3a,求正方形的边长
P为正方形ABCD内的一点,并且PA＝a,PB＝2a,PC＝3a,求正方形的边长
P为正方形ABCD内的一点,并且PA＝a,PB＝2a,PC＝3a,求正方形的边长
先求出∠APB=135°（百度一下,这样的题这里很多）
作AM⊥BP,交BP的延长线于点M
则AM=√0.5*a,BM=2a+√0.5*a
根据勾股定理：AB=√（0.5+（4+4√0.5+0.5））*a=√（5+4√0.5）*a
设AB=x
在△PAB中
PA+PB≥AB
a+2a≥x
x≤3a
且PC≤AC
即3a≤√2x
x≥(3√2/2)a
∴(3√2/2)a≤x≤3a
cos∠ABP=(AB^2+PB^2-PA^2)/(2·AB·PB)
=(x^2+4a^2-a^2)/(2·x·2a)
=(x^2...
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设AB=x
在△PAB中
PA+PB≥AB
a+2a≥x
x≤3a
且PC≤AC
即3a≤√2x
x≥(3√2/2)a
∴(3√2/2)a≤x≤3a
cos∠ABP=(AB^2+PB^2-PA^2)/(2·AB·PB)
=(x^2+4a^2-a^2)/(2·x·2a)
=(x^2+3a^2)/(4ax)
cos∠CBP=(CB^2+PB^2-PC^2)/(2·CB·PB)
=(x^2+4a^2-9a^2)/(2·x·2a)
=(x^2-5a^2)/(4ax)
∵∠ABP+∠CBP=π/2
∴(cos∠ABP)^2+(cos∠CBP)^2=1
即：[(x^2+3a^2)/(4ax)]^2+[(x^2-5a^2)/(4ax)]^2=1
(x^2+3a^2)^2+(x^2-5a^2)^2=(4ax)^2
x^4+6a^2x^2+9a^4+x^4-10a^2x^2+25a^4=16a^2x^2
2x^4-20a^2x^2+34a^4=0
x^4-10a^2x^2+17a^4=0
x^2=[10a^2±√(100a^4-68a^4)]/2
x^2=(5±2√2)a^2
∵(3√2/2)a≤x≤3a
∴(9/2)a^2≤x^2≤9a^2
∴x^2=(5+2√2)a^2
则正方形的边长x=√(5+2√2)a
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