如图,在三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN平行于BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于F .问 当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论 .不好意思 图传
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 23:50:23
如图,在三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN平行于BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于F .问 当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论 .不好意思 图传
如图,在三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN平行于BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于F .
问 当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论 .
不好意思 图传不了 .
如图,在三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN平行于BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于F .问 当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论 .不好意思 图传
如果四边形AECF是矩形,那么O肯定是AC的中点,很简单,因为O是矩形的两条斜边的交点.
所以可以给出假设：当O为AC的中点时,该结论成立：
证明过程（电脑书写不便,以文字叙述为主）：
（思路----考虑到角平分线的性质,即平分角,所以标出题目中与证明有关重要的相等的角）
角ACE等于角BCE,由于MN平行BC,所以又有角BCE等于角FEC；
联系上面两个角相等关系,有ACE=FEC；
所以三角形COE为等腰三角形,所以EO=OC；
同理可得,FO=OC；
所以EO=0C=OF；
联系前面的假设,O为AC的中点,所以有EO=0F=0C=OA,所以四边形AECF是矩形；
故假设成立,结论得证.
当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
O点运行到AC的中点的时候，四边形AECF是矩形。
由题∠ACE=∠ECB,∠ACF=∠FCD (角平分线），所以2∠ACE+2∠ACF=180，所以∠ECF=90,即EC⊥CF。又AECF为矩形，有AF⊥CF，所以EC‖AF，得∠FAC=∠ACE，∠AFE=∠FEC。结合MN‖BC，∠FEC=∠ECB=∠ACE(内错角，角平分线）。所以∠FAC=∠ACE=∠AFE，即OF=OA。同理可证OF=OC，所以OA=OC，即四边形AECF是矩形时，O为A...
全部展开
由题∠ACE=∠ECB,∠ACF=∠FCD (角平分线），所以2∠ACE+2∠ACF=180，所以∠ECF=90,即EC⊥CF。又AECF为矩形，有AF⊥CF，所以EC‖AF，得∠FAC=∠ACE，∠AFE=∠FEC。结合MN‖BC，∠FEC=∠ECB=∠ACE(内错角，角平分线）。所以∠FAC=∠ACE=∠AFE，即OF=OA。同理可证OF=OC，所以OA=OC，即四边形AECF是矩形时，O为AC的中点。
收起
（1）OE=OF
理由是：∵MN∥BC
∴∠OEC=∠BCE
∵∠ACE=∠BCE∴∠OEC=∠ACE
∴OE=OC
同理OF=OC
∴OE=OF
（2）当O在AC的中点是，四边形AECF是矩形
理由是：∵OA=OC，OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
∵OA+OC=OE+OF
即AC=EF
∴四...
全部展开
（1）OE=OF
理由是：∵MN∥BC
∴∠OEC=∠BCE
∵∠ACE=∠BCE∴∠OEC=∠ACE
∴OE=OC
同理OF=OC
∴OE=OF
（2）当O在AC的中点是，四边形AECF是矩形
理由是：∵OA=OC，OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
∵OA+OC=OE+OF
即AC=EF
∴四边形AECF是矩形
（用有一角是直角的平行四边形是矩形亦可）
收起