数列{an}中,a1=1,且a(n+1)=2an+1.设bn=an+1（1）求证:数列{bn}是等比数列（2）求数列{an}的通项公式（3）设Cn=(n+1)/(an+1) (n∈N*),求数列{Cn}的前n项的和Tn
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 07:19:37
数列{an}中,a1=1,且a(n+1)=2an+1.设bn=an+1（1）求证:数列{bn}是等比数列（2）求数列{an}的通项公式（3）设Cn=(n+1)/(an+1) (n∈N*),求数列{Cn}的前n项的和Tn
数列{an}中,a1=1,且a(n+1)=2an+1.设bn=an+1
（1）求证:数列{bn}是等比数列
（2）求数列{an}的通项公式
（3）设Cn=(n+1)/(an+1) (n∈N*),求数列{Cn}的前n项的和Tn
数列{an}中,a1=1,且a(n+1)=2an+1.设bn=an+1（1）求证:数列{bn}是等比数列（2）求数列{an}的通项公式（3）设Cn=(n+1)/(an+1) (n∈N*),求数列{Cn}的前n项的和Tn
（1）∵a(n+1)=2an+1
∴a(n+1)+1=2(an+1)
∴[a(n+1)+1]/（an+1）=2
∵bn=an+1
a1=1,b1=2,
∴bn是等比数列
（2）∵bn公比是2
∴bn=2^n
∵bn=an+1
∴an=2^n-1
（3）∵Cn=(n+1)/(an+1)
Cn=(n+1)/2^n
∴Tn=2/2+3/2^2+4/2^3+...+n/2^(n-1)+ (n+1)/2^n①
∵1/2Tn=2/2^2+3/2^3+4/2^4+...+n/2^n+(n+1)/2^(n+1)②
①-②得：
1/2Tn=1+1/2^2+1/2^3+1/2^4+...+1/2^n-(n+1)/2^(n+1)
=1+[1/4(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)]-(n+1)/2^(n+1)
=1+1/2-1/2^n-(n+1)/2^(n+1)
=3/2-1/2^n-(n+1)/2^(n+1)
=3/2-[（n+3）/2^(n+1)]
∴Tn=3-[(n+3)/2^n]
算得匆忙,楼主可以自己算哈
第3问用错位相减法
(1)证明：
因为bn=an+1且a(n+1)=2an+1，所以b(n+1)-1=2bn-1,所以b(n+1)=2bn，因为n是从1开始的所以不必验证b1,所以bn是一个以b1=2,q=2的等比数列，bn=2^n.
(2)因为bn=an+1=2^n,所以an=2^n-1;
(3)Cn=(n+1)/(an+1)=(n+1)/bn=(n+1)/2^n=n/2^n+1/2^n.<...
全部展开
(1)证明：
因为bn=an+1且a(n+1)=2an+1，所以b(n+1)-1=2bn-1,所以b(n+1)=2bn，因为n是从1开始的所以不必验证b1,所以bn是一个以b1=2,q=2的等比数列，bn=2^n.
(2)因为bn=an+1=2^n,所以an=2^n-1;
(3)Cn=(n+1)/(an+1)=(n+1)/bn=(n+1)/2^n=n/2^n+1/2^n.
Tn=c1+c2+c2+……+cn=(1/2+2/2^2+……+n/2^n)+n/(2+4+……+2^n)
令Sn=1/2+2/2^2+……+n/2^n
则有2Sn=1+2/2+3/2^2+……+n/2^(n-1）
所以sn=1+1/2+……1/2^(n-1)-n/2^n
所以Tn=3-[(n+3)/2^n]
收起
（1）
b(n+1)/bn=(2an+1+1)/(an+1)=2
所以：{bn}为等比数列，且公比为2
（2）
b1=a1+1=1+1=2
所以：bn=b1*q^(n-1)=2^n
所以：an=bn-1=(2^n)-1