函数f(x)在闭区间[0,1]连续,求证:∫(0-1)f(x)dx∫(x-1)f(y)dy=1∕ 2[∫(0-1)f(x)dx]2注意:∫(0-1)f(x)dx表示函数f(x)在[0,1]上的定积分,由于不会输入特殊符号才这么表示的
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 13:23:19
函数f(x)在闭区间[0,1]连续,求证:∫(0-1)f(x)dx∫(x-1)f(y)dy=1∕ 2[∫(0-1)f(x)dx]2注意:∫(0-1)f(x)dx表示函数f(x)在[0,1]上的定积分,由于不会输入特殊符号才这么表示的
函数f(x)在闭区间[0,1]连续,求证:∫(0-1)f(x)dx∫(x-1)f(y)dy=1∕ 2[∫(0-1)f(x)dx]2
注意:∫(0-1)f(x)dx表示函数f(x)在[0,1]上的定积分,由于不会输入特殊符号才这么表示的
函数f(x)在闭区间[0,1]连续,求证:∫(0-1)f(x)dx∫(x-1)f(y)dy=1∕ 2[∫(0-1)f(x)dx]2注意:∫(0-1)f(x)dx表示函数f(x)在[0,1]上的定积分,由于不会输入特殊符号才这么表示的
你写的有点问题.
前面那个是累次积分啊,关于y的积分区间含有变量x,要放到关于x的积分里面.
记左边是M
那么M=∫(0-1)f(x)(∫(x-1)f(y)dy)dx=∫(0-1)(∫(x-1)f(x)f(y)dy)dx 下面交换积分次序,先对x积分,注意这时候积分范围变成0<=x<=y, 0<=y<=1
=∫(0-1)(∫(0-y)f(x)f(y)dx)dy=∫(0-1)f(y)(∫(0-y)f(x)dx)dy
现在把变量符号换一下,x换成y,y换成x
=∫(0-1)f(x)(∫(0-x)f(y)dy)dx=M
现在M=∫(0-1)f(x)(∫(x-1)f(y)dy)dx
且 M=∫(0-1)f(x)(∫(0-x)f(y)dy)dx
两个式子加起来
2M=∫(0-1)f(x)(∫(0-1)f(y)dy)dx 注意这时候关于y的积分区域加起来变成0-1了
现在积分区域和x,y都没关系了
=∫(0-1)f(x)dx *∫(0-1)f(y)dy=[∫(0-1)f(x)dx]^2
所以M=1/2*[∫(0-1)f(x)dx]^2