一道空间立体几何题,求详解,如图所示,在四棱锥p-abcd中,PA⊥面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD,1证明BD⊥PC2若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥p-abcd的体积

一道空间立体几何题,求详解,如图所示,在四棱锥p-abcd中,PA⊥面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD,1证明BD⊥PC2若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥p-abcd的体积
一道空间立体几何题,求详解,

如图所示,在四棱锥p-abcd中,PA⊥面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD,
1证明BD⊥PC
2若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥p-abcd的体积

一道空间立体几何题,求详解,如图所示,在四棱锥p-abcd中,PA⊥面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD,1证明BD⊥PC2若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥p-abcd的体积
1
∵PA⊥面ABCD,BD在底面ABCD内
∴BD⊥PA
∵BD⊥AC ,PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC
又PC在平面PAC内
∴BD⊥PC
2
令AC∩BD=O,连接PO
∵BD⊥平面PAC
∴∠DPO为PD与平面PAC所成的角
即∠DPO=30º
∵ABCD是等腰梯形,AD//BC
BD⊥AC,AD=4
∴DO=AO=√2/2AD=2√2
∴PD=2*DO=4√2
PA=√(PD²-AD²)=4
∵ BD⊥AC
∴底面等腰梯形的高
h=1/2(AD+BC)=3
∴VP-ABCD=1/3*[(4+2)*3/2]*4=12

1、因为PA⊥平面ABCD
所以PA在平面ABCD的射影是AC
又BD⊥AC
由三垂线定理得
BD⊥PC
2、设BD、AC交于占O
因为ABCD是等腰三角形
所以AO=DO
又AC⊥BD
所以DO=√2/2AD=2√2
BO=√2
BD=AC=3√2
因为PA⊥平面ABCD
所以PA⊥BD

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1、因为PA⊥平面ABCD
所以PA在平面ABCD的射影是AC
又BD⊥AC
由三垂线定理得
BD⊥PC
2、设BD、AC交于占O
因为ABCD是等腰三角形
所以AO=DO
又AC⊥BD
所以DO=√2/2AD=2√2
BO=√2
BD=AC=3√2
因为PA⊥平面ABCD
所以PA⊥BD
由第一份得知BD⊥AC
又PA、AC是平面PAC内两条相交线
所以BD⊥平面PAC
即是DO⊥平面PAC
所以PD与平面PAC所成的角为30°就是∠DPO=30°
sin∠DPO=DO/PD
sin60°=2√2/PD
PD=4√2
PA=√（PD²-AD²)=√(32-16)=4
所以 四棱锥 P-ABCD 的体积 =(1/ 3)底面等腰梯形ABCD的面积 * PA
=(1/3)*(1/2)AC*BD*PA=(1/3)*(1/2)3√2*3√2 * 4 = 12 .

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第一题其实很简单.

因为 PA 垂直平面 ABCD ,所以PA垂直于平面 ABCD 内所有直线,包括 BD .

又因为 BD 垂直 AC ,所以 BD 同时垂直平面 PAC 内的 PA 和 AC ,即 BD 垂直于平面 PAC ,即 BD 垂直于 PC .

第二题也不复杂.

因为 AD , BC 是定值,并且 ABCD...

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第一题其实很简单.

因为 PA 垂直平面 ABCD ,所以PA垂直于平面 ABCD 内所有直线,包括 BD .

又因为 BD 垂直 AC ,所以 BD 同时垂直平面 PAC 内的 PA 和 AC ,即 BD 垂直于平面 PAC ,即 BD 垂直于 PC .

第二题也不复杂.

因为 AD , BC 是定值,并且 ABCD 是等腰梯形,所以要使得 AC 垂直 BD ,那么 AD , BC 之间的距离也一定是一个定值,而且可求.

要计算 AD , BC 的距离,其实只需要将 BD 平移到 CD' ,与 AD 相交于 AD 的延长线上一点 D' ,如图:

那么 AD' = AD + BC = 6 ,而且还有 AC 垂直 CD' ,以及等腰梯形性质得到的 AC = CD' ,

所以 BC 与 AD 的距离就是 3 (这个是等腰直角三角形的性质哈).

这样我们就搞定了底面等腰梯形ABCD的面积 = (2+4) * 3/2 = 9

下面我们来搞定四棱锥 P-ABCD 的高,也就是 PA 的长度.

我们先把等腰梯形中所有能求出来的边长都求出来,

三角形 ACD' 是等腰直角三角形,那三角形 AOD 呢? 当然也是啦,利用三个角都相等推出两个三角形相似就可以得出结论啦.

那么在等腰直角三角形 AOD 中,因为 AD = 4 ,很容易求出 AO = DO = 2√2 .

同理,在等腰直角三角形 BOC 中, BO = CO = √2 .

由题给的 PD 与平面 PAC 所成的角为 30 度 这个条件,我们可以得到什么结论呢?

哦,我们看到第一题我们证明了 BD 垂直平面 PAC ,那么 PD 与平面 PAC 所成的角就是角 OPD 了(当然这个线段 PO 是我刚才连上的=_=, O 点是 BD 与 AC 的交点).

同样,因为 PO 在平面 PAC 内,所以 BD 也垂直于 PO .

换个角度,在三角形 POD 中, PO 垂直 DO ,角 OPD = 30 度,那么角 ODP = 60 度,

而DO = 2√2 ,所以 PD = 4√2, PO = 2√6.

在直角三角形 PAD 或者 PAO 中,都已知了两边,要求第三边 PA 都非常容易.

所以 PA = 4 .

所以 四棱锥 P-ABCD 的体积 = 底面等腰梯形ABCD的面积 * PA * 1/3 = 9 * 4 * 1/3= 12 .

(改了下计算错误的地方.)

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