一道数学分析证明题《急》设f(x)在[a,正无穷)上严格单调下降,且lim f(x(n))= limf(x) 求证 limx(n)趋于正无穷
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/05 18:41:14
一道数学分析证明题《急》设f(x)在[a,正无穷)上严格单调下降,且lim f(x(n))= limf(x) 求证 limx(n)趋于正无穷
一道数学分析证明题《急》
设f(x)在[a,正无穷)上严格单调下降,且lim f(x(n))= limf(x) 求证 limx(n)趋于正无穷
一道数学分析证明题《急》设f(x)在[a,正无穷)上严格单调下降,且lim f(x(n))= limf(x) 求证 limx(n)趋于正无穷
楼上反证法的第一步就错了,x(n) 不趋于无穷并不代表一定趋于某个常数,也可以是完全没有极限的情形.
如果 x(n) 不以正无穷为极限,则存在实数 M,对任何正整数 N,总存在 m>N 使得 x(m)0 使得 f(x(m))>f(M)>lim{x->+oo}f(x) + c,比如可取 c=f(M)-f(M+1),于是 limsup{n->oo}f(x(n))>=lim{x->+oo}f(x)+c,矛盾.
反证法:
假设当n趋于无穷的时候,Xn并不趋于无穷,而是等于某一个数M。
又因为题目中有:lim
所以就有f(M)=f(+无穷)
但是,上面的式子与f(x)在[a,正无穷)上严格单调下降矛盾(要是严格单调下降的话,不应该有两个函数值相等)
所以假设错误
所以当n趋于无穷的时候,Xn趋于正无...
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反证法:
假设当n趋于无穷的时候,Xn并不趋于无穷,而是等于某一个数M。
又因为题目中有:lim
所以就有f(M)=f(+无穷)
但是,上面的式子与f(x)在[a,正无穷)上严格单调下降矛盾(要是严格单调下降的话,不应该有两个函数值相等)
所以假设错误
所以当n趋于无穷的时候,Xn趋于正无穷
注意:x不可能是负无穷,因为x必须满足f的定义域,即x》a
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