把1到10,这10个自然数摆成一个圆圈,一定存在相邻的三个数,它们的和大于17,为什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 15:21:12
把1到10,这10个自然数摆成一个圆圈,一定存在相邻的三个数,它们的和大于17,为什么?
把1到10,这10个自然数摆成一个圆圈,一定存在相邻的三个数,它们的和大于17,为什么?
把1到10,这10个自然数摆成一个圆圈,一定存在相邻的三个数,它们的和大于17,为什么?
反证法：
如果相邻的三个数,它们的和都不大于17
则1+2+3+-----------+10=55>17*3=51
所以,这是不可能的
方法1
设十个数按顺序为a1,a2,a3,...,a10
设相邻三个数的和b1=a1+a2+a3,b2=a2+a3+a4,...,b9=a9+a10+a1,b10=a10+a1+a2
则b1+b2+...+b10=3(a1+a2+...+a10)=165
则必存在某一个b，该b不小于16.5，如果每个b都不大于16.5，他们的和就不会是165了
又因为b是整...
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方法1
设十个数按顺序为a1,a2,a3,...,a10
设相邻三个数的和b1=a1+a2+a3,b2=a2+a3+a4,...,b9=a9+a10+a1,b10=a10+a1+a2
则b1+b2+...+b10=3(a1+a2+...+a10)=165
则必存在某一个b，该b不小于16.5，如果每个b都不大于16.5，他们的和就不会是165了
又因为b是整数，所以这个b不小于17
方法2
反证法,设a1,a2,...,a10是1--10的按顺时针的任意圆排列,相邻的3个数为一组做下列10组和:
a1+a2+a3,a2+a3+a4,...,a8+a9+a10,a9+a10+a1,a10+a1+a2,
如果不存在三个相邻的数，它们的和大于17,即上述每组的和均小于16,则10组和应不大于16*10=160,
但这10组和加起来总数却为(1+2+...+10)*3=165,矛盾,即一定存在三个相邻的数，它们的和大于17.
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根据抽屉原则2 如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉，则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体.
证明 设a1，a2，a3，…，a9，a10分别代表不超过10的十个自然数，它们围成一个圈，三个相邻的数的组成是（a1，a2，a3），（a2，a3，a4），（a3，a4，a5），…,（a9，a10，a1）,（a10，a1，a2）共十组.
现把它们看作十个抽屉，每个抽屉的物体数是a1+a...
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根据抽屉原则2 如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉，则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体.
证明 设a1，a2，a3，…，a9，a10分别代表不超过10的十个自然数，它们围成一个圈，三个相邻的数的组成是（a1，a2，a3），（a2，a3，a4），（a3，a4，a5），…,（a9，a10，a1）,（a10，a1，a2）共十组.
现把它们看作十个抽屉，每个抽屉的物体数是a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5，…a9+a10+a1，a10+a1+a2,
由于 （a1+a2+a3）+（a2+a3+a4）+…+（a9+a10+a1）+（a10+a1+a2） =3(a1+a2+…+a9+a10) =3×(1+2+…+9+10) =165
这里m=16 n=10 k=5
所以至少有一个 m+1=17 存在
根据原则2,至少有一个括号内的三数和不少于17,即至少有三个相邻的数的和不小于17
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