已经3x^2-xy+3y^2=20求8x^2+23y^2的最大值.x^2是x的2次方的意思.

已经3x^2-xy+3y^2=20求8x^2+23y^2的最大值.x^2是x的2次方的意思.
已经3x^2-xy+3y^2=20
求8x^2+23y^2的最大值.
x^2是x的2次方的意思.

已经3x^2-xy+3y^2=20求8x^2+23y^2的最大值.x^2是x的2次方的意思.
上面的怎么都胡扯呢··
我来看看
顺便说一句 lomiki是复制粘贴的 鄙视
把两个式子比一下,得到一个分式m,其中8x^2+23y^2是分母,当其取最大值的时候,整个分式取最小值,即m=t
整理移项得：(3-8t)x^2-xy+(3-23t)y^2=0
即△=1-4(3-8t)(3-23t)≥0
即736t^2-372t+35≤0
解得 1/8≤t≤35/92
显然取t=1/8时,分母最大
因为 20/8x^2+23y^2≥t
所以 8x^2+23y^2≤160
t=35/92时,分母最小
为368/7
即最大值为160 ,最小值为368/7
说明一下,我不是理解错误,是笔误 现在对了
楼主 你不要这样呢 既然你说能找出比160大的值,那你把x,y的值报出来呢
看看是不是的

以前有点错误,现在对了
根据公式 a^2+b^2≥2√ab
3x^2+3y^2=20+xy≥（2√3x^2*3y^2=6xy）
20+xy≥6xy xy≤4
8x^2+23y^2≥（2√8x^2*23y^2=4xy√46）
8x^2+23y^2≥4xy√46 而xy≤4
要8x^2+23y^2取最大值,须xy也取最大,而xy最大取4,
...

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以前有点错误,现在对了
根据公式 a^2+b^2≥2√ab
3x^2+3y^2=20+xy≥（2√3x^2*3y^2=6xy）
20+xy≥6xy xy≤4
8x^2+23y^2≥（2√8x^2*23y^2=4xy√46）
8x^2+23y^2≥4xy√46 而xy≤4
要8x^2+23y^2取最大值,须xy也取最大,而xy最大取4,
所以xy取4时8x^2+23y^2有最大值
即8x^2+23y^2=4*4√46=16√46

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满足:3x²-xy+3y²=20，
t=8x²+23y²的最大值为160 。
则等价于:s=20/(8x²+23y²)的最小值为1/8.
下面来证明：s≥1/8 ，即证:
(3x²-xy+3y²)/(8x²+23y²)≥1/8 ,
<==> 8(3x&su...

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满足:3x²-xy+3y²=20，
t=8x²+23y²的最大值为160 。
则等价于:s=20/(8x²+23y²)的最小值为1/8.
下面来证明：s≥1/8 ，即证:
(3x²-xy+3y²)/(8x²+23y²)≥1/8 ,
<==> 8(3x²-xy+3y²)≥(8x²+23y²) ,
<==> 16x²-8xy+y²≥0 ,
<==> (4x-y)²≥0，显然成立。
所以当4x=y，代入：3x²-xy+3y²=20 ，
得：x=√(20/47), y=4√(20/47),
即当：x=√(20/47), y=4√(20/47) 时 ,
s最小值为1/8.
也就是t最大值为160 ，
即(8x²+23y²)的最大值为160 。

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3x^2-xy+3y^2=20
得，3x^2+3y^2=20+xy
因为3x^2+3y^2>=2 根号 (3x^2*3y^2)= 6xy
所以可得20+xy>=6xy 即xy<=4
8x^2+23y^2 ,由不等式性质得 8x^2+23y^2 >=4 {根号(46)}*xy
8x^2+23y^2的最小值就是 xy取最大的时候 xy=4时候
8x^2+23y^2=16（根号46）

标准答案：最大值为212又7分之4，详见下图

chenguoxingok在乱说，他的方法两个等号不能同时成立，而且x,y也不一定为正。x，y有限制，不是在整个R，用判别式法未必能取到等号，需讨论。但这题巧了，用判别式法可以解决。talentwei8899的不等号方向错误，显示他错误的理解。
解法应该是：
令(3x²-xy+3y²)/(8x²+23y²)=t
(3-...

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chenguoxingok在乱说，他的方法两个等号不能同时成立，而且x,y也不一定为正。x，y有限制，不是在整个R，用判别式法未必能取到等号，需讨论。但这题巧了，用判别式法可以解决。talentwei8899的不等号方向错误，显示他错误的理解。
解法应该是：
令(3x²-xy+3y²)/(8x²+23y²)=t
(3-8t)x²-xy+(3-23t)y²=0
方程有实根，所以△=1-4(3-8t)(3-23t)≥0，即
1/8≤t≤35/92,
令8x²+23y²=s，则
1/8≤20/s≤35/92,即
368/7≤s≤160.
检验，前一个等号成立条件y=-2/23x,第二个等号成立条件y=4x，都可
满足。
故最大值160，最小值368/7.
novanight方法是错的，根本取不到等号。
实际上3x²-xy+3y²=20表示长轴在y=x上的椭圆，它与8x²+23y²=k这一族椭圆 中两个椭圆相切，内切时，k取最大，外切时取最小。
另法：由椭圆3x²-xy+3y²=20参数方程
x=2cost+(2/7)√35sint,
y=2cost-(2/7)√35sint,
再代入8x²+23y²用辅助角公式也可得到结果。

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设：y = kx
20 = 3x^2-kx^2+3k^2x^2 = (3-k+3k^2)x^2
x^2= 20/(3-k+3k^2)
8x^2+23y^2=160/(3-k+3k^2)+23*k^2*20/(3-k+3k^2)
=(160+460k^2)/(3-k+3k^2)
另：t=8x^2+23y^2=(160+460k^2)/(3-...

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设：y = kx
20 = 3x^2-kx^2+3k^2x^2 = (3-k+3k^2)x^2
x^2= 20/(3-k+3k^2)
8x^2+23y^2=160/(3-k+3k^2)+23*k^2*20/(3-k+3k^2)
=(160+460k^2)/(3-k+3k^2)
另：t=8x^2+23y^2=(160+460k^2)/(3-k+3k^2) >0
160+460k^2 = 3tk^2-tk+3t
(3t-460)k^2-tk+3t-160=0
△=t^2-4*(3t-460)(3t-160)>=0
35t^2+7440t-294400<=0
7t^2+1488t-58880<=0
<= t <=√(1488^2+28*58880)/14-1488/14

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这个题目用不等式来做看来不太靠得住，我用微积分来计算一个看看吧。
直接利用拉格朗日不定乘子法得可能的极值点满足的方程为
16x + a*（6x-y）= 0
46y + a*（6y-x）= 0
3x^2 - xy + 3y^2 = 20
解这三个方程得到x，y的值带入方程就可得到极值点的值（a是一个数值，不用用理他），最大的那个就是最大值了。手上没有计算工具懒...

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这个题目用不等式来做看来不太靠得住，我用微积分来计算一个看看吧。
直接利用拉格朗日不定乘子法得可能的极值点满足的方程为
16x + a*（6x-y）= 0
46y + a*（6y-x）= 0
3x^2 - xy + 3y^2 = 20
解这三个方程得到x，y的值带入方程就可得到极值点的值（a是一个数值，不用用理他），最大的那个就是最大值了。手上没有计算工具懒得计算了。

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我反正不大会,我先用求根公式,是以X的1元2次
X=(y正负根号(240-35y平方))/6
然后么,Y要大点,因为23Y2嘛,还在算.
Y最大,4根号21 除以7
X:2根号21 除以21
然后算出来竟然是:::: 159.2380952
计算器算得,我崩溃了,走了

其实做法很简单 配方 换元就OK了
3x^2-xy+3y^2=20
3（x-y/6）^2+3y^2-y^2/12=20
令x-y/6=t,则x=t+y/6
3t^2+(35/12)y^2=20
求
8（t+y/6）^2+23y^2
=8t^2+2y^2/9+(8/3)ty+23y^2
=8t^2+(8/3)ty+(209/9)y^...

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其实做法很简单 配方 换元就OK了
3x^2-xy+3y^2=20
3（x-y/6）^2+3y^2-y^2/12=20
令x-y/6=t,则x=t+y/6
3t^2+(35/12)y^2=20
求
8（t+y/6）^2+23y^2
=8t^2+2y^2/9+(8/3)ty+23y^2
=8t^2+(8/3)ty+(209/9)y^2
只是数难算一点 方法一点也不难
就是已知at^2+by^2=c
求dt^2+ety+fy^2最值
可以利用三角换元或者柯西不等式
设√3t=√20*sink √(35/12)y=√20cosk
t=√(20/3)sink y=√(48/7)cosk
原式=(160/3)sin²k+(3344/21)cos²k+(8/3)*√(320/7)*sinkcosk
=160/3+(2224/21)cos²k+(64/3)*√(5/7)*sinkcosk
=160/3+(2224/21)（cos2k+1）/2+(32/3)*√(5/7)*sin2k
=160/3+2224/42+(1112/21)cos2k+(32/3)*√(5/7)*sin2k
=744/7+(1112/21)cos2k+(32/3)*√(5/7)*sin2k
此式的后半部分 取值范围是[-√(1272384/441),√(1272384/441)]
原式的取值范围[744/7-1128/21,744/7+1128/21]
即[744/7-376/7,744/7+376/7]
最后结果为[368/7,160]
大体思路是这样
这题思路简单 数难算
最小值368/7 最大值160

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呵呵~其实正确答案确实是：最大值为160，最小值为368/7.
此题的方法很多，我不想在此列举了，我上传了四种解题方法在我的百度空间相册（已知3x^2-xy+3y^2=20,求8x^2+23y^2的最大值），你有兴趣就去看看吧~
——无为的数学爱好者...

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呵呵~其实正确答案确实是：最大值为160，最小值为368/7.
此题的方法很多，我不想在此列举了，我上传了四种解题方法在我的百度空间相册（已知3x^2-xy+3y^2=20,求8x^2+23y^2的最大值），你有兴趣就去看看吧~
——无为的数学爱好者

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好多个答案啊 ....

这题的正确做法是用代数换元法，作代换x=u+v,y=u-v代入以消去xy项将题给条件3x^2-xy+3y^2=20化为5u^2+7v^2=20。然后三角换元即可。另外在本题3x^2-xy+3y^2=20

的条件下，8x^2+23y^2的最大值的确是160，最小值是368/7这是毫无疑义的。我想楼主说的“可以举具体的X和Y的值，就可以得出比160大的值和比16（根号46）小的值是8x^2+23y^2的其中之一”估计是你举出的x,y不满足条件3x^2-xy+3y^2=20。下图给出用代数换元法对本题8x^2+23y^2值域的严格证明：（图片点击啊放大，如果没看到说明还在审核）：