已知函数f(x)=2sin(x-π/3）+1,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π/3,当x∈[0,π/3]时,方程f（kx）=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 08:05:12
已知函数f(x)=2sin(x-π/3）+1,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π/3,当x∈[0,π/3]时,方程f（kx）=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围?
已知函数f(x)=2sin(x-π/3）+1,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π/3,当x∈[0,π/3]时,方程f（kx）=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围?
已知函数f(x)=2sin(x-π/3）+1,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π/3,当x∈[0,π/3]时,方程f（kx）=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围?
f(kx）=2sin(kx-π/3）+1首先周期t=2π/3 因为 t=2π/k=2π/3所以 k=3 因为x∈[0,π/3] 所以 kx∈[0,π]
记kx=n 故f(n）=2sin(n-π/3）+1 记u=n-π/3∈[-π/3,2π/3] 有两个不同解就是y=m与之有两个交点 根据函数图像可知 m∈[根号3+1,3]
函数y=f(kx)=2sin(kx-π/3)+1的周期：T=2π/k=2π/3，(k>0)
所以k=3。
方程f(3x)=2sin(3x-π/3)+1=m，恰有两个不同的解，
即方程 sin(3x-π/3)=(m-1)/2，恰有两个不同的解，
即函数y=sin(3x-π/3)，与函数y=(m-1)/2，恰有两个不同的交点。
因为 x∈[0，π/3]，
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函数y=f(kx)=2sin(kx-π/3)+1的周期：T=2π/k=2π/3，(k>0)
所以k=3。
方程f(3x)=2sin(3x-π/3)+1=m，恰有两个不同的解，
即方程 sin(3x-π/3)=(m-1)/2，恰有两个不同的解，
即函数y=sin(3x-π/3)，与函数y=(m-1)/2，恰有两个不同的交点。
因为 x∈[0，π/3]，
3x-π/3∈[-π/3，2π/3]，
由函数y=sin(3x-π/3)的图象可知：
x∈[2π/9，5π/18）U（5π/18，π/3]时，y∈[√3/2，1），
与函数y=(m-1)/2，可能恰有两个不同的交点。
所以 √3/2<=(m-1)/2<1，
√3+1<=m<3。
故所求实数m的取值范围为：[√3+1，3）。
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