初二数学的几何难题SOS已知∠MON=60°,OT是∠MON的平分线,P是射线OT上一个动点,射线PB交射线ON于点B,(1)若A是射线PB绕P顺时针旋转120°后与射线AM的交点①求证PA=PB②若点C是AB与OP的交点,且PC=2分之

初二数学的几何难题SOS已知∠MON=60°,OT是∠MON的平分线,P是射线OT上一个动点,射线PB交射线ON于点B,(1)若A是射线PB绕P顺时针旋转120°后与射线AM的交点①求证PA=PB②若点C是AB与OP的交点,且PC=2分之
初二数学的几何难题SOS
已知∠MON=60°,OT是∠MON的平分线,P是射线OT上一个动点,射线PB交射线ON于点B,
(1)若A是射线PB绕P顺时针旋转120°后与射线AM的交点
①求证PA=PB
②若点C是AB与OP的交点,且PC=2分之根号3 PB,求△POB与△PBC的面积之比
(2)若OB=2,射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A(点A不与点O重合),直线PA交射线ON于点D,且满足∠PBD=∠ABO,请写出OP的长.

初二数学的几何难题SOS已知∠MON=60°,OT是∠MON的平分线,P是射线OT上一个动点,射线PB交射线ON于点B,(1)若A是射线PB绕P顺时针旋转120°后与射线AM的交点①求证PA=PB②若点C是AB与OP的交点,且PC=2分之
解答如下：
(1)
过P分别做PX垂直OA于X,PY垂直OB于Y.
则因为P在角分线上,所以PX=PY
又因为角O是60度,所以XPY是120度.
所以角YPB = 角YPX - 角BPX = 120 - 角BPX = 角BPA - 角BPX = 角XPA
因此直角三角形YPB和XPA全等,因此PA = PB
(2)
因为PA=PB,所以三角形APB是等腰三角形,其顶角APB=120度是已知,所以两个底角都是30度.也就是说,角PBC=30度
而角POB=1/2*60=30度,所以考察三角形POB和PCB,共用一个顶角P,另有一个角都是30度,因此两个三角形相似.
所以相似比为PC:PB = (根号3)/2
所求的正是他们的面积比,面积比是相似比的平方,也就是3/4.
(3)
因为PBA=30度,刚才说明了,而角PBD=角ABO,所以这两个角都是75度.
所以角BAO = 180-60-75=45度.
又角PAB也是30度,所以角PAO是45+30=75度
同时,在三角形AOP中,角AOP=30度,角OAP=75度,所以角APO=75度,这是一个等腰三角形.
因此OP=OA,欲求OP,只需要求出OA即可.
最后回到三角形AOB中,OB=2,其对角BAO是45度.
AO的对角ABO是75度,根据三角形内a/sinA = b/sinB = c/sinC
可得AO/sin75 = 2 / sin45
sin75 = sin(45+30) 根据三角形公式展开,最后计算得到OP = OA = (根号3) + 1
最后这个稍稍麻烦,你也可以直接看三角形OPB也行.

图看不清

我不知道你是否学过 四点共圆,假如学过就非常好办 ,没学过就用相似.(我毕竟高中了)
(1)Because angle MOT=angle NOT=30 ,angle APB=120
So angle APB+angle MOB=180
So A,O,P,B 四点共圆
So AP=BP (在圆中，等角对等边，angle MOT=angle...

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我不知道你是否学过 四点共圆,假如学过就非常好办 ,没学过就用相似.(我毕竟高中了)
(1)Because angle MOT=angle NOT=30 ,angle APB=120
So angle APB+angle MOB=180
So A,O,P,B 四点共圆
So AP=BP (在圆中，等角对等边，angle MOT=angle NOT)
(也可用相似，在OB上取一点X,使得OX=OA,而后推出 AP=XP,再由计算角推出 triangle PXB为等腰三角形，故AP=BP)
Because A,P,B,O 四点共圆
So angle ABP=angle AOP=angle POB=30
So triangle BCP similar to triangle OBP
So S(POB): S(PBC)=(CP: PB)^2 =3/4
(2)Because angle ABP=30 and angle PBD=angle ABO
So angle PBD= angle ABO=(180-30)/2 =75
So angle OBP=105, angle OPB=45
So AP=2*cos30+2*sin30*tan45=1+(3^1/2)

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