集合与建议逻辑一题求解释.已知全集U,集合A、B为U的非空真子集,若“x∈A”与“x∈B”是一对互斥事件,则称A与B为一组U(A,B).规定:U(A,B)≠U(B,A).当集合U={1,2,3,4,5}时,所有的U(A,B)的组数是(

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 09:03:39
集合与建议逻辑一题求解释.已知全集U,集合A、B为U的非空真子集,若“x∈A”与“x∈B”是一对互斥事件,则称A与B为一组U(A,B).规定:U(A,B)≠U(B,A).当集合U={1,2,3,4,5

集合与建议逻辑一题求解释.已知全集U,集合A、B为U的非空真子集,若“x∈A”与“x∈B”是一对互斥事件,则称A与B为一组U(A,B).规定:U(A,B)≠U(B,A).当集合U={1,2,3,4,5}时,所有的U(A,B)的组数是(
集合与建议逻辑一题求解释
.已知全集U,集合A、B为U的非空真子集,若“x∈A”与“x∈B”是一对互斥事件,则称A与B为一组U(A,B).规定:U(A,B)≠U(B,A).当集合U={1,2,3,4,5}时,所有的U(A,B)的组数是(  )

集合与建议逻辑一题求解释.已知全集U,集合A、B为U的非空真子集,若“x∈A”与“x∈B”是一对互斥事件,则称A与B为一组U(A,B).规定:U(A,B)≠U(B,A).当集合U={1,2,3,4,5}时,所有的U(A,B)的组数是(
分析重点:
1、互斥事件:不可同时发生的几个事件;
  所以,“x∈A”与“x∈B”是一对互斥事件 的意思是:“x∈A”与“x∈B” 至少有一个为假.
2、x :x 是表示 U 中元素的变量.所以虽然没有明说,但题目的意思是:对 U 中的任意元素 x,若…则…;
  综合 1、2 可知,所谓 “互斥” 的等价条件就是:A、B 交集为空.
3、U(A,B):
这其实就是 A、B 的一个 “集合对”,而且是二者有先后顺序的.当然,在这个记法中,A、B 不能是任意的集合,它们必须满足 “交集为空”.
于是,原问题就变成了:求已知集合 U 的所有 “非空真子集”中,两集合“交集为空” 的 “集合对” 的个数.
这其实是一个排列组合问题.基本思路是:分步法,分两步依次构造两个集合A、B.
已知:U = {1,2,3,4,5},所以:
根据 “非空真子集” 的条件,可知:A、B 的元素个数只能是:4;
根据 “交集为空” 的条件,可知:第一步中,A 的元素可以任意选取;但第二步中,B 只能在 “剩余” 的元素中,任意选取;
因为 A 的元素个数的不确定,对 B的选取方案有影响,所以在分步的基础上,还要进行分类处理.即,分别考虑A中元素个数为 1、2、3、4 时的情况.而且,这四种情况下选取方案的计算是有一般公式的:
S(i) = C( 5 ,i ) * [ 2 ^ ( 5 – i ) – 1 ];
(注:C(m,n) 表示从 m 个中任选 n 个的组合数)
上式表示:第一步,A 任意选择 i 个元素;第二步,B 在剩余的 5 – i 个元素中,任选 “非零个” 元素.
当 i 从 1 取到 4 ,A、B 的所有组合就都得到了.于是,本题最终的答案是:
S = ∑(i = 1,4) S(i) ; (表示 i 分别取 4 时,所有的 S(i) 之和)
= ∑(i = 1,4) ( C( 5 ,i ) * [ 2 ^ ( 5 – i ) – 1 ] );
= 180