已知函数y=1-根号-x的平方+4x(x∈1,4 是闭区间)求函数的值域
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 09:24:22
已知函数y=1-根号-x的平方+4x(x∈1,4 是闭区间)求函数的值域
已知函数y=1-根号-x的平方+4x(x∈1,4 是闭区间)求函数的值域
已知函数y=1-根号-x的平方+4x(x∈1,4 是闭区间)求函数的值域
[-1,1]
我没看到原题的函数,根据你写的我理解的做出是这个答案
先求定义域[0,4],所以Y在[1,4]内均有意义
二次函数的对称轴为X=2,即在X=2处二次函数取得最大值,所以函数Y在X=2处取得最小值-1
二次函数在X=4处取得最小值,所以函数Y在X=4处取得最大值为1
(和答案给的数一样么?)
(一)求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y=f(x),不能把它写成f(x,y)=0;
2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;
3、求函数解析式的一般方法有:
(1)直接法:...
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(一)求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y=f(x),不能把它写成f(x,y)=0;
2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;
3、求函数解析式的一般方法有:
(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。
(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;
(3)换元法:若给出了复合函数f〔g(x)〕的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g(x),以换元法解之;
(4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x代换-x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;
(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。
(二)求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;
2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;
3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;
4、对复合函数y=f〔g(x)〕的定义域的求解,应先由y=f(u)求出u的范围,即g(x)的范围,再从中解出x的范围I1;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2,I1和I2的交集即为复合函数的定义域;
5、分段函数的定义域是各个区间的并集;
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;
(三)求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示;
2、在函数f:A→B中,集合B未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C是B的子集;若C=B,那么该函数作为映射我们称为“满射”;
3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集;
4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;
5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;
6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结;
(四)求函数的最值
1、设函数y=f(x)定义域为A,则当x∈A时总有f(x)≤f(xo)=M,则称当x=xo时f(x)取最大值M;当x∈A时总有f(x)≥f(x1)=N,则称当x=x1时f(x)取最小值N;
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题;
3、闭区间的连续函数必有最值。
考点一:求函数解析式
1、直接法:由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1. 已知函数y=f(x)满足xy<0,4x2-9y2=36,求该函数解析式。
由4x2-9y2=36可解得:
。
说明:这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成的形式。
2、待定系数法:由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个参变量的值。
例2. 已知在一定条件下,某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比,又测得该段河流某段平均水深为2m时,水流量为340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
设,代入x,y的值可求得反比例系数k=780m3/s,故所求函数关系式为。
3、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。
例3. 已知,试求。
设,则,代入条件式可得:,t≠1。故得:。
说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。
4、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联立求解。
例4. (1)已知,试求;
(2)已知,试求;
(1)由条件式,以代x,则得,与条件式联立,消去,则得:。
(2)由条件式,以-x代x则得:,与条件式联立,消去,则得:。
说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义域由解析式确定,不需要另外给出。
5、实际问题中的函数解析式:这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及知识点也不多,关键是合理设置变量,建立等量关系。
例5. 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发,顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程,y表示PA的长,求y关于x的函数。
由题意知:当x∈〔0,1〕时:y=x;
当x∈(1,2)时:;
当x∈(2,3)时:;
故综上所述,有
考点二:求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域:由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解题时要认真分析变量所在的位置;最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
例6. 求的定义域。
由题意知:,从而解得:x-2且x≠±4.故所求定义域为:
。
2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。
例7. 已知函数由下表给出,求其定义域
X
1
2
3
4
5
6
Y
22
3
14
35
-6
17
。
3、求与复合函数有关的定义域:由外函数f(u)的定义域可以确定内函数g(x)的范围,从而解得x∈I1,又由g(x)定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。
又由于x2-4x+30 **
联立*、**两式可解得:
例9. 若函数f(2x)的定义域是〔-1,1〕,求f(log2x)的定义域。
由f(2x)的定义域是〔-1,1〕可知:2-1≤2x≤2,所以f(x)的定义域为〔2-1,2〕,故log2x∈〔2-1,2〕,解得,故定义域为。
4、求解含参数的函数的定义域:一般地,须对参数进行分类讨论,所求定义域随参数取值的不同而不同。
例10. 求函数的定义域。
若,则x∈R;
若,则;
若,则;
故所求函数的定义域:
当时为R,当时为,当时为。
说明:此处求定义域是对参变量a进行分类讨论,最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式,必须根据a的不同取值范围分别论述。
考点三:求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富,下面通过例题来探究一些常用的方法;随着高中学习的深入,我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。
1、分离变量法
例11. 求函数的值域。
,因为,故y≠2,所以值域为。
说明:这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量x,可通过等价变形,让变量只出现在分母中,再行求解。
2、配方法
例12. 求函数y=2x2+4x的值域。
y=2x2+4x=2(x2+2x+1)-2=2(x+1)2-2≥-2,故值域为。
说明:这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的,对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解,如y=af2(x)+bf(x)+c。
3、判别式法
例13. 求函数的值域。
可变形为:(4y-1)x2+(5y-2)x+6y-3=0,由Δ≥0可解得:。
说明:对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法。要注意两点:第一,其定义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出;如果题中条件另外给出了定义域,那么一般情况下就不能用此法求解值域;第二,用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集,所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故Δ≥0。
4、单调性法
例14. 求函数,x∈〔4,5〕的值域。
由于函数为增函数,故当x=4时,ymin=;当x=5时,ymax=,所以函数的值域为。
5、换元法
例15. 求函数的值域。
令,则y=-2t2+4t+2=-(t-1)2+4,t≥0,故所求值域为。
6、分段函数的值域:应为各区间段上值域的并集。
例16. 求函数的值域。
当x∈〔1,2〕时,y∈〔1,2〕;当x∈2,3〕时,y∈4,9〕;当x∈3,4〕时,y∈5,7〕。综上所述,y∈〔1,2〕∪3,9〕。
〔本讲所涉及的主要数学思想方法〕
1、分类讨论的数学思想:对含有参变量的函数定义域、值域及最值的求解,一般情况下都要对参变量进行分类讨论,在参变量不同的取值范围内进行求解。要特别注意对结果的表述。
2、换元的思想:对复合函数定义域、值域及最值的求解,以及对某些无理函数(根号中含有自变量的函数)的处理,通常可以考虑换元,以达到化繁为简的目的。
3、方程的思想:对某些函数解析式的求解,以及某些函数值的求解,均渗透了方程的思想,主要思路是改变原来的变量之间的角色,重新确定主元,依此主元构造方程进行求解。
一. 选择题
1、函数y=f(x)的值域是〔-2,2〕,则函数y=f(x+1)的值域是( )
A. 〔-1,3〕 B. 〔-3,1〕 C. 〔-2,2〕 D. 〔-1,1〕
2、已知函数f(x)=x2-2x,则函数f(x)在区间〔-2,2〕上的最大值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3、一等腰三角形的周长为20,底边长y是关于腰长x的函数,那么其解析式和定义域是( )
A. y=20-2x(x≤10) B. y=20-2x(x10)
C. y=20-2x(4≤x10) D. y=20-2x(5x10)
4、二次函数y=x2-4x+4的定义域为〔a,b〕(ab),值域也是〔a,b〕,则区间〔a,b〕是( )
A. 〔0,4〕 B. 〔1,4〕 C. 〔1,3〕 D. 〔3,4〕
5、函数y=f(x+2)的定义域是〔3,4〕,则函数y=f(x+5)的定义域是( )
A. 〔0,1〕 B. 〔3,4〕 C. 〔5,6〕 D. 〔6,7〕
6、函数的值域是( )
7、(2007安徽)图中的图像所表示的函数的解析式是( )
二. 填空题
8、若f(x)=(x+a)3对任意x∈R都有f(1+x)=-f(1-x),则f(2)+f(-2)= ;
9、若函数的值域为,则其定义域为 ;
三. 解答题
10、求函数的定义域。
11、已知,若f(a)=3,求a的值。
12、已知函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=-x2+4x,试求f(x)的表达式。
13、某人买来120m竹篱笆,想靠墙围成一个矩形养鸡场,一边靠墙,三边用竹篱笆。设鸡场的面积为y,与墙连接一边的长为x。
(1)将y表示成x的函数;
(2)与墙连接的一边多长时,鸡场的面积最大?
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