在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面ABC,AB垂直BC,D为AC的中点,AA1=AB=2,BC=3（1）求证AB1平行平面BC1D（2）求四棱锥B-AA1C1D的体积1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 01:23:16
在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面ABC,AB垂直BC,D为AC的中点,AA1=AB=2,BC=3（1）求证AB1平行平面BC1D（2）求四棱锥B-AA1C1D的体积1
在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面ABC,AB垂直BC,D为AC的中点,AA1=AB=2,BC=3
（1）求证AB1平行平面BC1D
（2）求四棱锥B-AA1C1D的体积
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在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面ABC,AB垂直BC,D为AC的中点,AA1=AB=2,BC=3（1）求证AB1平行平面BC1D（2）求四棱锥B-AA1C1D的体积1
第一问：做辅助线 连接B1C,交BC1于点E,连接DE,则DE是△CB1A的中位线,所以有
DE∥AB1,又因为DE在平面BC1D内,所以有AB1∥面BC1D
第二问：因为四棱锥B-AA1C1D的底面是直角梯形AA1C1D,其面积为1/2*(√13+√13/2)*(2)
=3√13/2
而点B到面AA1C1D的距离为2*3/√13=6√13/13
所以体积为(1/3)*6√13/13*3√13/2=3
告诉你一个解决这种问题的简便通用方法-------想象添加法，这很明显是一个长方体的一个角，把它放回长方体中，你会发现问题很简单，建议自己算一下，事必要躬亲。
1. 连接B1C，交BC1于点M，连接DM，在△AB1C中
D为AC的中点，M为CB1的中点，
所以DM//AB1
DM在平面平面BC1D外，AB1在平面平面BC1D内
所以AB1平行平面BC1D
2. S△ABC=3
V三棱柱=S△ABC*AA1=6
V(B-A1B1C1)=V三棱柱/3=2
V(C1-BCD)=S△BCD*AA...
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1. 连接B1C，交BC1于点M，连接DM，在△AB1C中
D为AC的中点，M为CB1的中点，
所以DM//AB1
DM在平面平面BC1D外，AB1在平面平面BC1D内
所以AB1平行平面BC1D
2. S△ABC=3
V三棱柱=S△ABC*AA1=6
V(B-A1B1C1)=V三棱柱/3=2
V(C1-BCD)=S△BCD*AA1/3=1
V(B-AA1C1D)=V三棱柱-V(B-A1B1C1)-V(C1-BCD)
=6-2-1
=3
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（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，
∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB1C的中位线，
∴OD∥AB1．（3分）
∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．（6分）
（2）∵AA1⊥平面A...
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（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，
∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB1C的中位线，
∴OD∥AB1．（3分）
∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．（6分）
（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，
∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．
作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，（8分）
∵AB=BB1=2，BC=3，
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=4+9=13，BE=AB•BCAC=613，（10分）
∴四棱锥B-AA1C1D的体积V=13×12(A1C1+AD)•AA1•BE（12分）=16×3213×2×613=3．
∴四棱锥B-AA1C1D的体积为3．（14分）
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