已知函数f(x)=ax^3+bx^2-a^2x(a>0)的两个极值点x1,x2满足|x1|+|x2|=2根号2,则b的最大值为

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/21 12:13:51
已知函数f(x)=ax^3+bx^2-a^2x(a>0)的两个极值点x1,x2满足|x1|+|x2|=2根号2,则b的最大值为已知函数f(x)=ax^3+bx^2-a^2x(a>0)的两个极值点x1,

已知函数f(x)=ax^3+bx^2-a^2x(a>0)的两个极值点x1,x2满足|x1|+|x2|=2根号2,则b的最大值为
已知函数f(x)=ax^3+bx^2-a^2x(a>0)的两个极值点x1,x2满足|x1|+|x2|=2根号2,则b的最大值为

已知函数f(x)=ax^3+bx^2-a^2x(a>0)的两个极值点x1,x2满足|x1|+|x2|=2根号2,则b的最大值为
∵f′(x)=3ax2+2bx-a2(a>0),依题意,x1、x2是方程f′(x)=0的两个根,
∵x1x2=-a/3<0且|x1|+|x2|=2根号2
,
∴(x1-x2)^2=8.
∴(-2b/3a)^2+4a/3=8,
∴b^2=3a^2(6-a),
∵b^2≥0,
∴0<a≤6.
设p(a)=3a^2(6-a),则p′(a)=-9a^2+36a.
由p′(a)>0得0<a<4,由p′(a)<0得a>4,
即p(a)在区间(0,4]上是增函数,在区间[4,6]上是减函数,
∴当a=4时p(a)有极大值96.
∴p(a)在(0,6]上的最大值是96,
∴b的最大值为4根号6

答:
f(x)=ax³+bx²-a²x
求导:f'(x)=3ax²+2bx-a²
极值点x1和x2满足方程3ax²+2bx-a²=0
根据韦达定理有:
x1+x2=-2b/(3a)
x1*x2=-a/3
|x1|+|x2|=2√2
两边平方得:
x1...

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答:
f(x)=ax³+bx²-a²x
求导:f'(x)=3ax²+2bx-a²
极值点x1和x2满足方程3ax²+2bx-a²=0
根据韦达定理有:
x1+x2=-2b/(3a)
x1*x2=-a/3
|x1|+|x2|=2√2
两边平方得:
x1²+2|x1*x2|+x2²=8
(x1+x2)²-2x1*x2+2|x1*x2|=8
4b²/(9a²)+2a/3+2|-a/3|=8
b²/a²+3a=18
b²=(18-3a)a²>=0
设g(a)=(18-3a)a²=18a²-3a³
求导:g'(a)=36a-9a²
解g'(a)=0得:a=4(a=0不符合a>0舍去)
当00,g(a)是增函数
当a>4时,g'(a)<0,g(a)是减函数
所以:a=4时,g(a)取得最大值g(4)=(18-12)(4)²=96
所以:b²=(18-3a)a²<=96
所以:b的最大值为4√6

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