平面直角坐标系,函数；矩形,圆；中考大题,数形结合.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点.顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1.矩形的对角线AC、OB相交于E,过点E的直
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 22:11:11
平面直角坐标系,函数；矩形,圆；中考大题,数形结合.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点.顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1.矩形的对角线AC、OB相交于E,过点E的直
平面直角坐标系,函数；矩形,圆；中考大题,数形结合.
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点.顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1.矩形的对角线AC、OB相交于E,过点E的直线与边OA、BC分别交于点G、H.
（1）①直接写出点E的坐标——；②求证：AG=CH.
（2）如图2,以O为圆心,OC为半径的圆弧交OA与D,若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F,求直线GH的函数关系式.
（3）在（2）的结论下,梯形ABHG的内部有一点P,当⊙P与HG、GA、AB都相切时,求⊙P的半径.
平面直角坐标系,函数；矩形,圆；中考大题,数形结合.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点.顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1.矩形的对角线AC、OB相交于E,过点E的直
1）①E的坐标是：（1,1）,
故答案为：（1,1）；
②证明：∵矩形OABC,
∴CE=AE,BC∥OA,
∴∠HCE=∠EAG,
∵在△CHE和△AGE中
∠HCE=∠EAG
CE=AE
∠HEC=∠GEA
,
∴△CHE≌△AGE,
∴AG=CH．
（2）如图2,连接DE并延长DE交CB于M,连接AC,
∵DO=OC=1=
1
2
OA,
∴D是OA的中点,
∵BC∥OA,
∴∠MCE=∠DAE,
∵在△CME和△ADE中
∠MCE=∠DAE
CE=AE
∠MEC=∠DEA
,
∴△CME≌△ADE,
∴CM=AD=2-1=1,
∵BC∥OA,∠COD=90°,
∴四边形CMDO是矩形,
∴MD⊥OD,MD⊥CB,
∴MD切⊙O于D,
∵HG切⊙O于F,E（1,
1
2
）,
∴可设CH=HF=x,FE=ED=
1
2
=MD,
在Rt△MHE中,有MH2+ME2=HE2,
即（1-x）2+（
1
2
）2=（
1
2
+x）2,
解得x=,
∴H（
1
3
,1）,OG=2-
1
3
=
5
3
,
又∵G（
5
3
,0）,
设直线GH的解析式是：y=kx+b,
把G、H的坐标代入得：
5
3
k+b=0,且1=
1
3
k+b,
解得：k=-
3
4
,b=
5
4
,
∴直线GH的函数关系式为y=-
3
4
x+
5
4
．
（3）如备用图3,连接BG,过P做PN⊥GA,垂足为N,
∵在△OCH和△BAG中
CH=AG
∠HCO=∠GAB
OC=AB
,
∴△OCH≌△BAG,
∴∠CHO=∠AGB,
∵∠HCO=90°,
∴HC切⊙O于C,HG切⊙O于F,
∴OH平分∠CHF,
∴∠CHO=∠FHO=∠BGA,
∵四边形OCBA是矩形,
∴BC∥OA,BC=OA,
∵CH=AG（已证）,
∴BH=OG,BH∥OG,
∴四边形BHOG是平行四边形,
∴OH∥BG,
∴∠OHE=∠BGE,
∵∠CHO=∠FHO=∠BGA
∴∠BGA=∠BGE,
即BG平分∠FGA,
∵⊙P与HG、GA、AB都相切,
∴圆心P必在BG上,
∴△GPN∽△GBA,
∴
PN
BA
=
GN
GA
,
设半径为r,
r
1
=
1
3
-r
1
3
,
解得：r=
1
4
,
答：⊙P的半径是
1
4
．
本题综合考查了矩形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,切线的性质和判定,一次函数和勾股定理等知识点,本题综合性比较强,难度偏大,但是也是一道比较好的题目．