在椭圆上3X^2+4y^2=12是否存在相异两点A,B关于直线y=4x+m对称?如果存在,求出m的取值范围,否则说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/28 19:51:23
在椭圆上3X^2+4y^2=12是否存在相异两点A,B关于直线y=4x+m对称?如果存在,求出m的取值范围,否则说明理由.
在椭圆上3X^2+4y^2=12是否存在相异两点A,B关于直线y=4x+m对称?如果存在,求出m的取值范围,否则说明理由.
在椭圆上3X^2+4y^2=12是否存在相异两点A,B关于直线y=4x+m对称?如果存在,求出m的取值范围,否则说明理由.
本题可以采用设点法或设线法.
用设点计算更快一些.
3x^2+4y^2=12
设椭圆上两点A(x1,y1)、B(x2,y2) 关于直线y=4x+m对称,
AB中点为M(x0,y0).则
3x1^2+4y1^2=12
3x2^2+4y2^2=12
得 :3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
即 3*2x0*(x1-x2)+4*2y0*(y1-y2)=0
(y1-y2)/(x1-x2)=-3x0/4y0=-1/4.
得 y0=3x0.代入直线方程y=4x+m
得x0=-m,y0=-3m
因为(x0,y0)在椭圆内部.则3m^2+4(-3m)^2
假设存在,设A(x1,y1)B(x2,y2),带入3X^2+4y^2=12然后相减
有3(x1+x2)+4(y1+y2)*k'=0 k'=-1/4 设中点P(x0,y0)6x0-2y0=0 y0=3x0
又中点在直线y=4x+m上 y0=4x0+m x0=。。。y0=...(用m表示)
然后用P(x0...
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假设存在,设A(x1,y1)B(x2,y2),带入3X^2+4y^2=12然后相减
有3(x1+x2)+4(y1+y2)*k'=0 k'=-1/4 设中点P(x0,y0)6x0-2y0=0 y0=3x0
又中点在直线y=4x+m上 y0=4x0+m x0=。。。y0=...(用m表示)
然后用P(x0,y0)求出直线AB用m表示 联立椭圆方程
要求判别式>0就可以求出m值范围,如果m值求不出就说明不存在
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假设存在相异两点A,B关于直线y=4x+m对称,A(a,b),B(c,d),A,B均在椭圆上,即有:
a^2/4+b^2/3=1
c^2/4+d^2/3=1
两方程联解,得到:
(a+c)(a-c)/4=(b+d)(d-b)/3 ——P
又A,B关于直线对称,则有A,B中点在直线y=4x+m上,且直线AB的斜率为-1//4,即有:
(...
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假设存在相异两点A,B关于直线y=4x+m对称,A(a,b),B(c,d),A,B均在椭圆上,即有:
a^2/4+b^2/3=1
c^2/4+d^2/3=1
两方程联解,得到:
(a+c)(a-c)/4=(b+d)(d-b)/3 ——P
又A,B关于直线对称,则有A,B中点在直线y=4x+m上,且直线AB的斜率为-1//4,即有:
(b+d)/2=2*(a+c)+m ——Q
(d-b)/(c-a)=-1/4 ——M
联解PM得到a+c=(b+d)/3
代入Q式,得
m=-(b+d)/6
又有A,B两点在椭圆上,则有0≤b^2,d^2≤3
所以m的取值范围为负三分之根号三到三分之根号三
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