数学奥林匹克初中训练题86高手回答设a,b,c为正数,且a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 12:21:29
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数学奥林匹克初中训练题86高手回答设a,b,c为正数,且a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc
数学奥林匹克初中训练题86高手回答
设a,b,c为正数,且a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc

数学奥林匹克初中训练题86高手回答设a,b,c为正数,且a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc
!注明：sqrt x 表示 x 的平方根 !
证明：原式→a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc-4bc＜0
→0＜（a-b-c）^2＜4bc
1.a-b-c > 0 则,
0< a-b-c < 2 sqrt(bc)
→0< a < (sqrt b-sqrt c)^2
(1).b > c 则,
0 < sqrt a < sqrt b-sqrt c
(2).c > b 则,
0 < sqrt a < sqrt c-sqrt b
均能构成三角形.
2.a-b-c < 0 则,
0 < b+c-a < 2sqrt(bc)
→(sqrt b-sqrt c)^2 < a
(1).b < c 则,
sqrt b-sqrt c < sqrt a
(2).c < b 则,
sqrt c-sqrt b < sqrt a
亦均能构成三角形.
故由原式的对称轮换性可知,sqrt a,sqrt b,sqrt c 任何情况均能构成三角形.

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