设关于x的一元二次方程ax＾2+x+1=0（a＞0）有两实根下,x1,x2,若x1/x2∈[1/10,10],试求a的最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 09:55:47
设关于x的一元二次方程ax＾2+x+1=0（a＞0）有两实根下,x1,x2,若x1/x2∈[1/10,10],试求a的最大值.
设关于x的一元二次方程ax＾2+x+1=0（a＞0）有两实根下,x1,x2,若x1/x2∈[1/10,10],试求a的最大值.
设关于x的一元二次方程ax＾2+x+1=0（a＞0）有两实根下,x1,x2,若x1/x2∈[1/10,10],试求a的最大值.
逐一分析条件
有两实数根,说明△=1-4a>=0
根据韦达定理有
x1+x2=-1/a
x1*x2=1/a
可以知道x1+x2=-x1*x2 ,两边除以x2得
x1/x2+1=-x1即x1/x2=-x1-1,又x1/x2∈[1/10,10]
所以x1∈[-11,-11/10]
1/x1∈[-10/11,-1/11]
根据ax＾2+x+1=0得a=（-x1-1）/x1^2=-1/x1^2-1/x1=-(1/x1+1/2)^2+1/4
当x1=-1/2时a取最大值1/4,同时也满足△
△≥0得a≤1/4
a=1/4时符合x1，x2，若x1/x2∈[1/10，10]
∴a的最大值为1/4
两根为(-1+√(1-4a))/(2a),(-1-√(1-4a))/(2a)
则因为x1/x2在[1/10，10]内而x2/x1也在[1/10,10]内故可设
x1=(-1+√(1-4a))/(2a),x2=(-1-√(1-4a))/(2a)
x1/x2=(-1+√(1-4a）)/(-1-√(1-4a)) =(-1+√(1-4a）)²/(4a) =(1-√(...
全部展开
两根为(-1+√(1-4a))/(2a),(-1-√(1-4a))/(2a)
则因为x1/x2在[1/10，10]内而x2/x1也在[1/10,10]内故可设
x1=(-1+√(1-4a))/(2a),x2=(-1-√(1-4a))/(2a)
x1/x2=(-1+√(1-4a）)/(-1-√(1-4a)) =(-1+√(1-4a）)²/(4a) =(1-√(1-4a）)/(2a)-1 =2/(1+√(1-4a)-1
因为1/10≤2/(1+√(1-4a))-1≤10 左边的不等式解得a≥10/121 右边的不等式解得-9/11<√(1-4a)恒成立又由0
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