求全国高中数学联赛数学联赛模拟试题,10月要考了,急求.要09年以后的

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2010年全国高中数学联赛模拟题2
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.
1.方程 在区间 上的实根个数为_________________.
2.设数列 的前 项和为 ，则满足不等式 的最小整数 是_________________.
3.已知 （ ， ...

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2010年全国高中数学联赛模拟题2
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.
1.方程 在区间 上的实根个数为_________________.
2.设数列 的前 项和为 ，则满足不等式 的最小整数 是_________________.
3.已知 （ ， ）是常数，且 ， ， ， 是区间 内任意实数，则函数 的最大值等于_________________.
4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.
5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.
6.设 是平面上一个定点， ， ， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ，其中 ，则点 的轨迹为_________________.
7.对给定的整数 ，符号 表示 中使 能被3整除的唯一值，那么 _________________.
8.分别以直角三角形的两条直角边 ， 和斜边 为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为 ， ， ，则 与 的大小关系是_________________.
二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.（本小题满分16分）是否存在实数 ，使直线 和双曲线 相交于两点 、 ，且以 为直径的圆恰好过坐标系的原点？
2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数 ，满足对任意的整数 ， ，若 ，则 .
3.（本小题满分20分）设非负实数 ， ， 满足 ，求证：
2010年全国高中数学联赛模拟题2
（加试）
9：40~12：10共150分钟 满分180分
平面几何、代数、数论、组合
1、
2、设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）
（Ⅰ）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）数列{an}满足a1=f（0），且
①求{an}通项公式。
②当a＞1时，不等式 对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围。
3、
4、
2010年全国高中数学联赛模拟题2
一试
参考答案
一、填空题
1.设 ，则 ，∵ ，∴ ，又 ，∴ ，即在区间 上单调递增，故方程 在区间 上有且只有一个实根.
2. 易知数列 是首项是 ，公比是 的等比数列，∴ ，于是 ，∵ ， ，故最小整数 是7.
3.∵ ，
∴

，
故所求函数的最大值等于 .
4. 圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有 个交点.
5. , 设第k次到达点A、点B、点C分别为事件Ak、Bk、Ck, k=1,2,3,...,n, 从点B到点A为事件D, 从点C到点A为事件E, 则An=Bn-1*D+Cn-1*E, 则（顺便说明一下：A是出发点）

6. ∵ ，∴ ，
即 ，又 ， 为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点 的轨迹为 的平分线.
7.由二项式定理知， ，即 被3除余1，
∴ ， ，
故 .
8. ∵ ，
，
∴作商，有 ，故 .
二、解答题
9.设交点 、 的坐标为 、 ，由 消去 ，得
，
由韦达定理，得 ，①
，②
∵以 为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴ ，
∴ ，
即 ，整理，得 ③
将①②代入③，并化简得 ，∴ ，
经检验， 确实满足题目条件，故存在实数 满足题目条件.
10.证明：假设存在这样的函数 ，则对任意的整数 ，设 ， ，其中 ，由条件知 .
由于 ， ，∴ 且 ，即 是 除去 ， 后剩下的那个数，不妨设
又由于 ， ，∴ .
以 代替 ，得 ，但这与 矛盾！
因此假设不成立，即不存在这样的函数 .
11.证明：先证左边的不等式.
∵ ，
∴

或者 ,只证 用排序或者1的代换易证。
再证右边的不等式.
不妨设 ，注意到条件 ，得


，
所以 ，
综上， .
二试
1、
2、（Ⅰ） 时，f（x）＞1
令x=－1，y=0则f（－1）=f（－1）f（0）∵f（－1）＞1
∴f（0）=1
若x＞0，则f（x－x）=f（0）=f（x）f（－x）故
故x∈R f（x）＞0
任取x1＜x2

故f（x）在R上减函数
（Ⅱ）①
由f（x）单调性知，an+1=an+2 故{an}等差数列
②

是递增数列
当n≥2时，

即
而a＞1，∴x＞1
故x的取值范围（1，+∞）

收起

现在联赛不是说没用了吗？