一道高中数学几何题在四棱锥P-ABCD中,底面为正方形,PA垂直于底面ABCD,且PA=AD=AB.M,N分别是PB和PC中点,求DN与面PAB所成角的大小.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 00:55:28
一道高中数学几何题在四棱锥P-ABCD中,底面为正方形,PA垂直于底面ABCD,且PA=AD=AB.M,N分别是PB和PC中点,求DN与面PAB所成角的大小.一道高中数学几何题在四棱锥P-ABCD中,

一道高中数学几何题在四棱锥P-ABCD中,底面为正方形,PA垂直于底面ABCD,且PA=AD=AB.M,N分别是PB和PC中点,求DN与面PAB所成角的大小.
一道高中数学几何题
在四棱锥P-ABCD中,底面为正方形,PA垂直于底面ABCD,且PA=AD=AB.M,N分别是PB和PC中点,求DN与面PAB所成角的大小.

一道高中数学几何题在四棱锥P-ABCD中,底面为正方形,PA垂直于底面ABCD,且PA=AD=AB.M,N分别是PB和PC中点,求DN与面PAB所成角的大小.
连接MN、AM
∵PA⊥平面ABCD,平面PAB经过PA
∴平面PAB⊥平面ABCD
∵AD⊥PA且AD⊥AB,∴AD⊥平面PAB
∵M、N都是中点,∴MN // BC // AB ,则MN⊥平面PAB
所以DN在平面PAB上的投影为AM
设所求角大小为θ,则cosθ=|AM|/|DN|
设AB=1
∵△PAB为等腰直角三角形 ∴AM=1/√2
∵CD⊥AD且CD⊥PA ∴CD⊥PD
则△PCD为直角三角形
∵N为PC的中点,∴DN=1/2*PC
根据勾股定理,PD=√2,PC=√3
∴DN=√3/2
则cosθ=|AM|/|DN|=√6/3
则θ=arccos(√6/3)

由题意知,面ABCD与面PAB垂直,面ABCD为正方形,故BC┴面PAB,M、N分别是PB、PC的中点故MN//BC,故MN┴PAB,AD//BC,所以AM是DN在面PAB内的投影,
设角为a则cos(a)=AM/DN,令其为定长,计算即可得其角的大小

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