关于集合的上下确界的问题:E={x+y|x€X,y€Y}.X,Y是实数的非空有界集合,证明:SupE=supX+SupY,InfE=InfX+InfY
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/28 15:25:05
关于集合的上下确界的问题:E={x+y|x€X,y€Y}.X,Y是实数的非空有界集合,证明:SupE=supX+SupY,InfE=InfX+InfY
关于集合的上下确界的问题:E={x+y|x€X,y€Y}.X,Y是实数的非空有界集合,证明:SupE=supX+SupY,InfE=InfX+InfY
关于集合的上下确界的问题:E={x+y|x€X,y€Y}.X,Y是实数的非空有界集合,证明:SupE=supX+SupY,InfE=InfX+InfY
证明:
1,对任意x∈X,有x≤supX ; 对任意y∈Y,有y≤supY,
则对任意x+y∈E,有x+y≤supX+supY,即supX+supY是E的一个上界,
则supE ≤ supX + supY;
2,对任意ε/2>0,X中存在x'>supX-ε/2(由上确界定义可得) ,Y中存在 y'>supY-ε/2(同上)
则对任意ε>0,E中存在e'=x'+y'>(supX+supY)-ε ,即supX+supY是E的最小上界.
综上所述,supE=supX+supY.
同理,可得InfE=InfX+InfY.
证毕.
其实,证明中你要理解不一定非得减去ε/2,只要保证x和y减去的数的和为ε就可以的.用ε/2来证明只是更方便和典型一些.
对任意x∈X,y∈Y,有x≤supX,y≤supY
∴x+y≤supX+supY =>sup(x+y)≤supX+supY
即supE≤supX+supY,又有
x+y≤supE =>supX+y≤supE =>supX+supY≤supE
∴supE=supX+supY
同理x+y≥infE =>infX+y≥infE => infX+infY≥infE<...
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对任意x∈X,y∈Y,有x≤supX,y≤supY
∴x+y≤supX+supY =>sup(x+y)≤supX+supY
即supE≤supX+supY,又有
x+y≤supE =>supX+y≤supE =>supX+supY≤supE
∴supE=supX+supY
同理x+y≥infE =>infX+y≥infE => infX+infY≥infE
又x+y≥infX+infY=>inf(x+y)≥infX+infY
=>infE≥infX+infY,即有infE=infX+infY
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