在△ABC中,AB=AC=5,P为BC上任意一点,求证:AP平方+PB×PC=25
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/28 10:09:15
在△ABC中,AB=AC=5,P为BC上任意一点,求证:AP平方+PB×PC=25
在△ABC中,AB=AC=5,P为BC上任意一点,求证:AP平方+PB×PC=25
在△ABC中,AB=AC=5,P为BC上任意一点,求证:AP平方+PB×PC=25
作AD⊥BC交BC于D,
AB²=BD²+AD²(1)
AP²=PD²+AD²(2)
(1)-(2)得:
AB²-AP²=BD²-PD²,
∴AB²-AP²=(BD+PD)(BD-PD),
∵AB=AC,∴D是BC中点,
∴BD+PD=PC,BD-PD=PB,
∴AB²-AP²=PB·PC
∴AP平方+PB×PC=AB²=5²=25
作AD垂直BC交BC于D
AP^2 + PB * PC
= AD^2 + DP^2 + (BD-DP)(CD+DP)
= AD^2 + DP^2 + (BD-DP)(BD+DP)
= AD^2 + DP^2 + BD^2 - DP^2
= AB^2
= 25
作∠DBP=∠PAC,交AP的延长线于点D,且D、A在BC的两侧
∴△BPD∽△APC
∴∠D=∠C,PB/PA=PD/PC
∴PB·PC=PA·PD=PA·(AD-PA)=PA·AD-PA^2
∴PA^2+PB·PC=PA·PD
∵∠ABC=∠C
∴∠D=∠ABP
∴△ABP∽△ADB
∴AB/AD=PA/AB
∴AB^2=...
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作∠DBP=∠PAC,交AP的延长线于点D,且D、A在BC的两侧
∴△BPD∽△APC
∴∠D=∠C,PB/PA=PD/PC
∴PB·PC=PA·PD=PA·(AD-PA)=PA·AD-PA^2
∴PA^2+PB·PC=PA·PD
∵∠ABC=∠C
∴∠D=∠ABP
∴△ABP∽△ADB
∴AB/AD=PA/AB
∴AB^2=PA·PD
∴PA^2+PB·PC=AB^2=25
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