正方形ABCD中有一点P,∠DAP＝∠ADP＝15度.求证三角形PBC是等边三角形

正方形ABCD中有一点P,∠DAP＝∠ADP＝15度.求证三角形PBC是等边三角形
正方形ABCD中有一点P,∠DAP＝∠ADP＝15度.求证三角形PBC是等边三角形

正方形ABCD中有一点P,∠DAP＝∠ADP＝15度.求证三角形PBC是等边三角形
在△CDP中取一点O,使△OPD是等边三角形,连结OC
则在等边△OPD中 有OD=PD
而由于∠PDA=15° ∠PDO=60°
故∠ODC=15°=∠PDA
又在正方形ABCD中 有DA=DC
故△PDA≌△ODC
故OC=PA=PD=OP
故∠OCP=∠OPC
而∠PDC=75° ∠DCO=15° ∠DPO=60°
故∠OPC+∠OCP=180°-∠PDC-∠DCO-∠DPO=30°(△PDC内角和为180°)
故∠OPC=∠OCP=15°
故∠DPC=∠DPO+∠OPC=75°=∠PDC
故CP=CD=BC
同理可证BP=BA=BC
故PB=BC=CP
故△PBC是等边三角形
这个题主要是辅助线不好想,要记住这个辅助线的做法,在顶角30°底角75°的等腰三角形里,这种辅助线非常有用(但并不很常用).

该题用反证法要容易一些。

做图如下：

以BC为边长做等边三角形BCP’，过P’连接A和D。

因为三角形BP’A是等腰三角形，且全等于CP’D（P’在中心线上），三角形DP’A是等腰三角形。

所以：

∠P’BA=30度 

∠BP’A=(180-30)/2=75度 

∠AP’D=360-2×75-60=150度

∠DAP’=∠ADP’= (180-150)/2=15度

因此P’和P重合，BPC为等边三角形。

做图如下：
以BC为边长做等边三角形BCP’，过P’连接A和D。
因为三角形BP’A是等腰三角形，且全等于CP’D（P’在中心线上），三角形DP’A是等腰三角形。
所以：
∠P’BA=30度
∠BP’A=(180-30)/2=75度
∠AP’D=360-2×75-60=150度
∠DAP’=∠ADP’= (180-15...

全部展开

做图如下：
以BC为边长做等边三角形BCP’，过P’连接A和D。
因为三角形BP’A是等腰三角形，且全等于CP’D（P’在中心线上），三角形DP’A是等腰三角形。
所以：
∠P’BA=30度
∠BP’A=(180-30)/2=75度
∠AP’D=360-2×75-60=150度
∠DAP’=∠ADP’= (180-150)/2=15度
因此P’和P重合，BPC为等边三角形。
在△CDP中取一点O，使△OPD是等边三角形，连结OC
则在等边△OPD中 有OD=PD
而由于∠PDA=15° ∠PDO=60°
故∠ODC=15°=∠PDA
又在正方形ABCD中 有DA=DC
故△PDA≌△ODC
故OC=PA=PD=OP
故∠OCP=∠OPC
而∠PDC=75° ∠DCO=15° ∠DPO=60°
故∠OPC+∠OCP=180°-∠PDC-∠DCO-∠DPO=30°(△PDC内角和为180°)
故∠OPC=∠OCP=15°
故∠DPC=∠DPO+∠OPC=75°=∠PDC
故CP=CD=BC
同理可证BP=BA=BC
故PB=BC=CP
故△PBC是等边三角形
这个题主要是辅助线不好想，要记住这个辅助线的做法，对你将来学习绝对有帮助！在顶角30°底角75°的等腰三角形里，这种辅助线非常有用(但并不很常用)。

收起

在△CDP中取一点O，使△OPD是等边三角形，连结OC
则在等边△OPD中 有OD=PD
而由于∠PDA=15° ∠PDO=60°
故∠ODC=15°=∠PDA
又在正方形ABCD中 有DA=DC
故△PDA≌△ODC
故OC=PA=PD=OP
故∠OCP=∠OPC
而∠PDC=75° ∠DCO=15° ∠...

全部展开

在△CDP中取一点O，使△OPD是等边三角形，连结OC
则在等边△OPD中 有OD=PD
而由于∠PDA=15° ∠PDO=60°
故∠ODC=15°=∠PDA
又在正方形ABCD中 有DA=DC
故△PDA≌△ODC
故OC=PA=PD=OP
故∠OCP=∠OPC
而∠PDC=75° ∠DCO=15° ∠DPO=60°
故∠OPC+∠OCP=180°-∠PDC-∠DCO-∠DPO=30°(△PDC内角和为180°)
故∠OPC=∠OCP=15°
故∠DPC=∠DPO+∠OPC=75°=∠PDC
故CP=CD=BC
同理可证BP=BA=BC
故PB=BC=CP
故△PBC是等边三角形

收起