设函数f(x)在x=0处可导且 limx→0{[f(x)+1]/[x+sinx]}=2 则f(x)导数在x=0的值是?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/31 15:49:33
设函数f(x)在x=0处可导且 limx→0{[f(x)+1]/[x+sinx]}=2 则f(x)导数在x=0的值是?
设函数f(x)在x=0处可导且 limx→0{[f(x)+1]/[x+sinx]}=2 则f(x)导数在x=0的值是?
设函数f(x)在x=0处可导且 limx→0{[f(x)+1]/[x+sinx]}=2 则f(x)导数在x=0的值是?
由于分母极限为0,则分子极限必为0,因此lim(x--->0) [f(x)+1]=0,则lim(x--->0) f(x)=-1.
由f(x)在x=0可导,则f(x)在x=1连续,因此函数值与极限值相等 f(0)=-1
lim [x--->0] [f(x)+1]/(x+sinx)
=lim [x--->0] [f(x)-f(0)]/(x+sinx)
=lim [x--->0] [(f(x)-f(0))/x]*[x/(x+sinx)]
=lim [x--->0] [(f(x)-f(0))/x] * lim [x--->0] [x/(x+sinx)]
前一项为导数定义,后一项用洛必达法则
=f '(0)*(1/2)
=2
因此 f '(0)=4
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limx→0{[f(x)+1]/[x+sinx]}=2 (以下省略x→0)
[limf(x)+1]/limsinx=2
lim[f(x)+1]/lim2sinx=1
可见f(x)+1和2sinx是等价无穷小,它们在x->0时,趋近于0的速度相同
所以当x=0时,[f...
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limx→0{[f(x)+1]/[x+sinx]}=2 (以下省略x→0)
[limf(x)+1]/limsinx=2
lim[f(x)+1]/lim2sinx=1
可见f(x)+1和2sinx是等价无穷小,它们在x->0时,趋近于0的速度相同
所以当x=0时,[f(0)+1]'=[2sin0]'
f'(0)=0
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