求函数f（x）=根号下5+4cosx分之sinx（0≤x≤2π）的值域.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 21:30:43
求函数f（x）=根号下5+4cosx分之sinx（0≤x≤2π）的值域.
求函数f（x）=根号下5+4cosx分之sinx（0≤x≤2π）的值域.
求函数f（x）=根号下5+4cosx分之sinx（0≤x≤2π）的值域.
sinx/cosx=tanx
当x属于（0≤x≤2π）时
tanx属于全体实数
所以根号内的数可以去全体实数,因为根号内的数要大于等于0
FX所以值域为（0,正无穷）
首先这是一个连续可导函数，通过求出边界值以及极值，可求得值域
求导
f'(x)
= cosx/根号(5+4cosx) + 2(sinx)^2/(5+4cosx)^(3/2)
= [cosx (5+4cosx) + 2(sinx)^2]/(5+4cosx)^(3/2)
= [2(cosx)^2 + 5cosx + 2]/(5+4cosx)^(3/2)
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首先这是一个连续可导函数，通过求出边界值以及极值，可求得值域
求导
f'(x)
= cosx/根号(5+4cosx) + 2(sinx)^2/(5+4cosx)^(3/2)
= [cosx (5+4cosx) + 2(sinx)^2]/(5+4cosx)^(3/2)
= [2(cosx)^2 + 5cosx + 2]/(5+4cosx)^(3/2)
= (2cosx + 1)(cosx + 2)/(5+4cosx)^(3/2)
所以 当 2cosx + 1 = 0 即 cosx = -1/2 时
f'(x) = 0
cosx = -1/2 对应
x = 120 度 sinx = √3 /2
以及
x = 240 度 sinx = -√3/2
在 x = 120 度时
f(x) = (√3 /2)/√(5 - 4 *1/2) = 1/2
在 x = 240度时
f(x) = -1/2
而在边界处
f(0) = f(360度) = 0
在 [0<=x<=2π] 上， f(x) 是连续函数。结合边界取值以及极值情况可以知道
f(x) 在 [0, 120] 单调递增， 在 [120, 240] 单调递减，在[240,360]单调递增。
综上所述， 值域为
[-1/2, 1/2]
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