在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AA'=AB=BC=1 角ABC=90 棱A'C'上有两个动点E F 且EF=a(a为常数） 判断三棱柱B--CEF的体积是否为定值,若为定值,求出这个三棱锥的体积.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/14 14:34:01
在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AA'=AB=BC=1 角ABC=90 棱A'C'上有两个动点E F 且EF=a(a为常数） 判断三棱柱B--CEF的体积是否为定值,若为定值,求出这个三棱锥的体积.
在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AA'=AB=BC=1 角ABC=90 棱A'C'上有两个动点E F 且EF=a(a为常数） 判断三棱柱B--CEF的体积是否为定值,若为定值,求出这个三棱锥的体积.
在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AA'=AB=BC=1 角ABC=90 棱A'C'上有两个动点E F 且EF=a(a为常数） 判断三棱柱B--CEF的体积是否为定值,若为定值,求出这个三棱锥的体积.
（Ⅰ）取 AC 中点 D,连接 B D
因为 AB = BC,∴△ABC为等腰三角形 ,D 为底边 AC 中点,∴ 直线BD ⊥ 直线AC ．
因为 ABC - A' B 'C '是直三棱柱,直线AA' ⊥ 平面ABC ,
∵ 直线BD属于i面ABC ,∴ 直线BD ⊥ 直线AA ．
又 AA相交 AC =A ,∴直线 BD ⊥ 平面ACC A ．
∵ CE属于 平面ACC A ,∴ BD ⊥ CE ,
∴ 直线BD即为所求直线 ．
（Ⅱ）∵ ABC- A B C 是直三棱柱,直线 CC ⊥ 平面A B C
∵直线EF 属于 平面A' B 'C ' ,∴ 直线CC ' ⊥ 直线EF ．
∴三角形CEF的边 EF 上的高为线段 CC ' ,
由已知条件得 CC = AA = 1,且EF = a ( a为常数） ,
故 △CEF的面积S = 1 /2* EF CC ' = a/2为定值
由（Ⅰ）可知,直线BD ⊥ 平面ACC A ,故BD为三棱锥B -CEF的高
2 在等腰三角形 ABC 中,可求得 BD= √2 / 2
∴ 三棱锥B - CEF的体积V = S BD/3 = a为定值√2 *a/12
三角形CEF的面积=a/2，点B到平面CEF的距离=√2/2。
三棱锥B-CEF体积=(1/3)*(a/2)*(√2/2)=√2a/12。
如果a算定值的话，三棱锥B-CEF的体积就是定值。
三棱锥B-CEF的体积=三棱锥E-BCF的体积=三棱锥E-BCC‘的体积-三棱锥F-BCC’的体积=三角形BCC‘的面积*（EC’-FC‘）/3=BC*CC’*a/6=a/6