求极限的值,答案看不懂.lim(n->∞)n[e^2-(1+1/n)^2n]
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 06:49:35
求极限的值,答案看不懂.lim(n->∞)n[e^2-(1+1/n)^2n]
求极限的值,答案看不懂.
lim(n->∞)n[e^2-(1+1/n)^2n]
求极限的值,答案看不懂.lim(n->∞)n[e^2-(1+1/n)^2n]
令t=1/n,把原极限化为函数极限lim(t→0+) [e^2－(1+t)^(2/t)]/t,用洛必达法则,主要的计算是幂指函数(1+t)^(2/t)的求导,用对数求导法或化为复合指数函数,(1+t)^(2/t)＝e^[2/t*ln(1+t)],求导后是(1+t)^(2/t)×2[t/(1+t)-ln(1+t)]/t^2＝(1+t)^(2/t)×2[t－(1+t)ln(1+t)]/(t^2(1+t))
原极限＝lim [e^2－(1+t)^(2/t)]/t＝－lim (1+t)^(2/t)×2[t－(1+t)ln(1+t)]/(t^2(1+t))
＝－2e^2×lim [t－(1+t)ln(1+t)]/t^2,这里把(1+t)^(2/t)还有1+t的极限先计算出来了
＝－2e^2×lim [-ln(1+t)]/(2t)
＝－2e^2×(-1/2)
＝e^2
其实上面的极限也可以这样求，它等价于求(（1+1/n)^2n )*n的极限，又等价于（n+1）^2n除以n^2n-1的极限，然后对分子展开，分子最高项是n^2n而分母是n^2n-1故极限趋于无穷
前面的就不写了
设y=(1+t)^(2/t)
lny=(2/t)ln(1+t)
两边求导
y'/y=(-2/t²)ln(1+t)+2/t(1+t)
因为：t/ln(1+t)=1
所以y'=e^2*(-2/t+2/t(1+t))
通分后得极限值是-2e^2
lim(n->∞)n[e^2-(1+1/n)^2n]
=lim(n->∞)[e^2-(1+1/n)^2n]/(1/n)
=lim(t->0)[e^2-(1+t)^(2/t)]/(t)
分子分母同时求导
*********************************
设y=(1+t)^(2/t)
lny=(2/t)ln(1+t)
两边求导<...
全部展开
lim(n->∞)n[e^2-(1+1/n)^2n]
=lim(n->∞)[e^2-(1+1/n)^2n]/(1/n)
=lim(t->0)[e^2-(1+t)^(2/t)]/(t)
分子分母同时求导
*********************************
设y=(1+t)^(2/t)
lny=(2/t)ln(1+t)
两边求导
y'/y=(-2/t²)ln(1+t)+2/t(1+t)
y'=(1+t)^(2/t) * [ (-2/t²)ln(1+t)+2/t(1+t) ]
*********************************
=lim(t->0) - (1+t)^(2/t) * [ (-2/t²)ln(1+t)+2/t(1+t) ]
当t->0是，极限2/t(1+t)不存在
因此，原极限不存在！
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