求曲线Z=X^2+Y^2与Z=2-根号(X^2+Y^2)所围立体体积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 02:35:35
求曲线Z=X^2+Y^2与Z=2-根号(X^2+Y^2)所围立体体积
求曲线Z=X^2+Y^2与Z=2-根号(X^2+Y^2)所围立体体积
求曲线Z=X^2+Y^2与Z=2-根号(X^2+Y^2)所围立体体积
x² + y² = z
z = 2 - √(x² + y²) ==> √(x² + y²) = 2 - z ==> x² + y² = (2 - z)² = 4 - 4z + z²
z = 4 - 4z + z² ==> z² - 5z + 4 = 0 ==> (z - 4)(z - 1) = 0 ==> z = 1
∴交集为x² + y² = 1
Ω体积
= ∫∫∫Ω dV
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) r dr ∫(r²→2 - r) dz
= 2π∫(0→1) r * (2 - r - r²) dr
= 2π∫(0→1) (2r - r² - r³) dr
= 2π(r² - r³/3 - r⁴/4)：(0→1)
= 2π(1 - 1/3 - 1/4)
= 5π/6
不知道有没有算错
两曲面的角线是 x²+y²=2-√(x²+y²)，化简得 x²+y²=1，在 XOY 平面上是一单位圆；
曲面交围体积 V=∫∫[2-√(x²+y²)-(x²+y²)]dxdy
=∫∫[2-√ρ²-ρ²]ρdρdθ……换位极坐标：x=ρcosθ，y=ρsinθ，...
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两曲面的角线是 x²+y²=2-√(x²+y²)，化简得 x²+y²=1，在 XOY 平面上是一单位圆；
曲面交围体积 V=∫∫[2-√(x²+y²)-(x²+y²)]dxdy
=∫∫[2-√ρ²-ρ²]ρdρdθ……换位极坐标：x=ρcosθ，y=ρsinθ，0≤ρ≤1，0≤θ≤2π；
=2π[ρ²-(ρ³/3)-(ρ^4/4)]|{0,1}
=2π[1-(1/3)-(1/4)] ＝10π/12；
收起