关于数列的题目正项数列{an}满足a1=1,Sn为其前n相的和,且4Sn=(an+1)^2 (n大于等于1)求{an}的通项公式bn=an(1/2)^n,求其前n相和Tn
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/28 14:05:41
关于数列的题目正项数列{an}满足a1=1,Sn为其前n相的和,且4Sn=(an+1)^2 (n大于等于1)求{an}的通项公式bn=an(1/2)^n,求其前n相和Tn
关于数列的题目
正项数列{an}满足a1=1,Sn为其前n相的和,且4Sn=(an+1)^2 (n大于等于1)
求{an}的通项公式
bn=an(1/2)^n,求其前n相和Tn
关于数列的题目正项数列{an}满足a1=1,Sn为其前n相的和,且4Sn=(an+1)^2 (n大于等于1)求{an}的通项公式bn=an(1/2)^n,求其前n相和Tn
4Sn=(an+1)^2
4S(n-1)=(a(n-1)+1)^2
[注:S和a后面的括号中为下脚标]
4an=4Sn-4S(n-1)= (an+1)^2 -(a(n-1)+1)^2
所以:(an-1)^2=(a(n-1)+1)^2
an-1=±(a(n-1)+1)
由于为{an}为正项数列,所以an-1=a(n-1)+1
an-a(n-1)=2
为等差数列,公差为2
an=1+2(n-1)=2n-1
bn=(2n-1)*(1/2)^n
Tn=1*(1/2)^1+3*(1/2)^2+5*(1/2)^3+……+(2n-3)*(1/2)^(n-1)+(2n-1)*(1/2)^n
Tn/2=1*(1/2)^2+3*(1/2)^3+5*(1/2)^4+……+(2n-3)*(1/2)^n+(2n-1)*(1/2)^(n+1)
两式相减:
Tn/2
=1/2+2*[(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+……+(1/2)^n]-(2n-1)*(1/2)^(n+1)
=3/2-(1/2)^(n-1)-(2n-1)*(1/2)^(n+1)
=3/2-(2n+3)*(1/2)^(n+1)
Tn=3-(2n+3)*(1/2)^n