已知函数f(x)=根号x,g(x)=alnx,a∈R(1).若函数h(x)=f(x)-g(x),当存在最小值时,求其最小值解析式&(a)(2).对于(1)中的解析式和任意的a>0,b>0证明&'(a+b/2)≤(&’(a)+&'(b))/2≤&'(2ab/a+b)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 09:51:43
已知函数f(x)=根号x,g(x)=alnx,a∈R(1).若函数h(x)=f(x)-g(x),当存在最小值时,求其最小值解析式&(a)(2).对于(1)中的解析式和任意的a>0,b>0证明&'(a+b/2)≤(&’(a)+&'(b))/2≤&'(2ab/a+b)
已知函数f(x)=根号x,g(x)=alnx,a∈R
(1).若函数h(x)=f(x)-g(x),当存在最小值时,求其最小值解析式&(a)
(2).对于(1)中的解析式和任意的a>0,b>0证明&'(a+b/2)≤(&’(a)+&'(b))/2≤&'(2ab/a+b)
已知函数f(x)=根号x,g(x)=alnx,a∈R(1).若函数h(x)=f(x)-g(x),当存在最小值时,求其最小值解析式&(a)(2).对于(1)中的解析式和任意的a>0,b>0证明&'(a+b/2)≤(&’(a)+&'(b))/2≤&'(2ab/a+b)
(1)h(x)=√x -alnx ,定义域x>0
令 h'(x)=1/(2√x)- a/x=0,解得x=4a^2 ,即在定义域内,当x=4a^2时,h(x)取得唯一极值点
又h(x)存在最小值,故当x=4a^2时得最小值为h=2a-2aln(2a) ,即解析式为&(a)=2a-2aln(2a)
(2)对于函数&(x)=2x-2xln(2x)求导函数得 &'(x)=2-2ln(2x)-2=-2ln(2x)
故 &'(a+b/2)=-2ln(2a+b) =ln[(2a+b)^(-2)] ,(&’(a)+&'(b))/2=-ln(2a)-ln(2b)=ln(4ab)^(-1),&'(2ab/a+b)=-2ln[4ab/(a+b)]=ln[4ab/(a+b)]^(-2)
又y=lnx为单调递增函数,故题求证的不等式等价于
(2a+b)^(-2)≤(4ab)^(-1)≤[4ab/(a+b)]^(-2)
又a>0,b>0,上式子等价于[4ab/(a+b)]^2≤4ab≤(2a+b)^2
容易证得4ab≤(2a+b)^2
又[4ab/(a+b)]^2/ (4ab)= 4ab/(a+b)^2=4ab>0}
所以[4ab/(a+b)]^2