已知m>2,则函数f(x)=sin^x+mcosx,x属于R的最大值 g(m)=?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 15:27:55
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已知m>2,则函数f(x)=sin^x+mcosx,x属于R的最大值 g(m)=?
已知m>2,则函数f(x)=sin^x+mcosx,x属于R的最大值 g(m)=?

已知m>2,则函数f(x)=sin^x+mcosx,x属于R的最大值 g(m)=?
是sinx+mcosx吗?
可以设1和m分别为直角三角形的两直角边,则斜边为√1+m²
则一个锐角为α,cosα=1/√1+m²,sinα=m/√1+m²
则f(x)=√1+m²(sinxcosα+cosxsinα)=(√1+m²)sinφ
其中φ=x+α
取最大值时即sinφ=1
即:g(m)=√1+m²
若是sin²x+mcosx
则:sin²x=1-cos²x
化为-cos²x+mcosx+1=-(cos²x-mcosx-1)=-(cosx-m/2)²+m²/4+1
已知m>2,则m/2>1
让-(cosx-m/2)²+m²/4+1最大,也就是让)-(cosx-m/2)²最大
即|cosx-m/2|最小,由于cosx<1,m/2>1,即cosx-m/2恒为负数,
也就是m/2-cosx最小,即cosx取最大
令cosx=1
sinx=0
f(x)max=g(m)=0+m=m

由题,f(x)=1-cos²x+mcosx=-[(cosx)-(m/2)]²+1+(m²/4)
因为,x∈R,所以,|cosx|≤1
因为,m>2,所以,m/2>1
所以,cosx=1,即x=2kπ(k为整数)时
f(x)有最大值=m