已知集合M是集合S={1,2,3,4,······,2009}的含有m个元素的子集,且对集合m的任意三个元素x,y,z均有x+y不能整除z,求m最大值09年福建高一数学最后一题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 06:31:27
已知集合M是集合S={1,2,3,4,······,2009}的含有m个元素的子集,且对集合m的任意三个元素x,y,z均有x+y不能整除z,求m最大值09年福建高一数学最后一题
已知集合M是集合S={1,2,3,4,······,2009}的含有m个元素的子集,且对集合m的任意三个元素x,y,z均有x+y不能整除z,求m最大值
09年福建高一数学最后一题
已知集合M是集合S={1,2,3,4,······,2009}的含有m个元素的子集,且对集合m的任意三个元素x,y,z均有x+y不能整除z,求m最大值09年福建高一数学最后一题
设a是集合M中最小的元素,则存在唯一的整数q,r使得2009=qa+r,其中0≤r＜a
将集合S={1,2,3,…,2009}中大于a的元素按照被a除所得的余数分成下列a类
a+1,2a+1,3a+1,…,(q-1)a+1,qa+1;
a+2,2a+2,3a+2,…,(q-1)a+2,qa+2;
… …
a+r,2a+r,…,(q-1)a+r,qa+r
… …
a+(a-1),2a+(a-1),…,(q-1)a+(a-1);
2a,3a,4a,…,qa
由于a是M中的元素,于是,在上述各行的任意相邻的两个元素中,最多只能有一个元素被包含在M中.
因此,在前r中,每行最多有{(q+1)/2]个元素在集合M中,在后a-r行中,最多有[q/2}个元素在集合M中.
因此,m≤1+[(q+1)/2]×r＋[q/2]×（a-r)≤1+(q+1)/2+q/2(a-r)=1+(qr+r+qa-qr)/2=1+2009/2
又,m为正整数,因此m≤1005.
显然集合M.={1005,1006,1007,…,2009}满足条件,且M.含有1005个元素.
所以,m的最大值为1005.
还需要其他题目的答案吗?
现在的数学竞赛题目太深了.看着就晕!